「自己組織化マップ」の版間の差分

DOI：<selfdoi />　原稿受付日：2021年8月21日　原稿完成日：202X年X月X日<br>

英語 Self-Organizing Map, Kohonen map <br>

略称 SOM<br>

同義語 自己組織化写像<br>

{{box|text=　自己組織化マップはT. Kohonenによって提案された教師なしニューラルネットの一種である。自己組織化マップはもともと大脳の機能地図の自己組織化現象を説明する数理モデルに由来する。しかし実データ解析へ応用するため、ニューロン間の結合やダイナミクスが簡約化され、計算の効率化が図られている。自己組織化マップの学習原理はWinner-Take-Allによる競合学習とニューロンの空間的配置に基づく近傍学習の組み合わせである。自己組織化マップはデータの次元削減や可視化を行うニューラルネットであり、高次元データの可視化やデータマイニングなどの目的で幅広い分野で利用されてきた。}}

　大脳皮質には機能局在性があり、機能の類似するニューロンは皮質上で隣接して分布することが知られる。また感覚系では入力の空間的トポロジーが保存されるトポグラフィックマッピングが知られる。これらの空間的な機能分化が自己組織的に生じる原理について、形式ニューロンを用いた数理モデルの研究が行われた。たとえばMarsburg<ref name=vonderMalsburg1973><pubmed>4786750</pubmed></ref>[14]やAmari<ref name=Amari1980><pubmed>6246997</pubmed></ref>[1]は外界からの刺激によりニューロンの機能局在と位相的な配置が自己組織化することを示した。

　このような空間的機能分化の自己組織化は2種に分けられる<ref name=Kohonen2006><pubmed>16774731</pubmed></ref>[5]。タイプ1はレチノトピーを典型例とするトポグラフィックマッピングであり、入力信号の類似性に基づく自己組織化である。タイプ2は視覚系における方向選択性ニューロンなどの機能マップであり、出力信号の類似性に基づく自己組織化である。Kohonenはタイプ2の自己組織化の数理モデルを元に、ニューロン間の結合やダイナミクスを簡約化し、実データ解析に応用可能なシンプルなアルゴリズムに帰着した<ref name=Kohonen1982>'''T. Kohonen.(1982).'''<br>Self-organized formation of topologically correct feature maps. Biological Cybernetics, 43(1):59-69 [https://doi.org/10.1007/BF00337288 PDF]</ref>[4]。これが自己組織化マップである。自己組織化マップは初期の提案からいくつかの改良を重ねており、最終形であるバッチ型自己組織化マップにおいては安定した学習が達成できる一方で、形式ニューロンを用いた数理モデルからは大きく様変わりしている<ref name=Kohonen2013><pubmed>23067803</pubmed></ref>[6]。

[[ファイル:Furukawa Self organizing map fig1.png|サムネイル|図1. 自己組織化マップによる動物マップ <br>表 1のデータをバッチ型自己組織化マップで学習した結果.哺乳類/鳥類，肉食/草 食，大型/小型などの動物の特徴に基づき，類似した動物の地図を作っている.このマップは U-matrix 法<ref name=Ultsch1993>'''A. Ultsch. (1993).'''<br>Self-organizing neural networks for visualization and classification. In O. Opitz, B. Lausen, and R. Klar, editors, Information and Classification, pages 307-313. Springer, Berlin.

[https://doi.org/10.1007/978-3-642-50974-2_31 PDF]</ref>[11]で色付けしており、赤い領域がクラスタ境界を表す。]]

　自己組織化マップの入力は通常、高次元のベクトルデータセットである。一方、出力はデータセットを低次元(通常は2次元)に射影したものであり、データ分布を地図として可視化して見ることができる。また低次元マップ空間から高次元データ空間への写像も学習によって得られる。

'''図1'''は自己組織化マップにより得られた「動物マップ」である。入力データ('''表1''')は16種の動物データであり、それぞれ15次元のベクトルで表されている。マップ上で類似する動物(哺乳類や鳥類、肉食や草食)は互いに近くに配置されている。

　一方、各ニューロンは参照ベクトルと呼ばれる<math>q</math>次元のベクトル値<math>m_i =(m_{i1},...,m_{iq})</math>を保持する(iは ニューロンの番号).参照ベクトルは感覚ニューロンから皮質ニューロンへのシナプス強度と解釈できる。ただし自己組織化マップでは各ニューロンが参照ベクトル値を記憶さえしていればよく、必ずしもシナプスという形で実装される必要はない。

　自己組織化マップは競合原理と近傍学習原理という2つの原理で動作する。第一の競合原理では、入力データにもっとも合致するニューロンが勝者(最適ユニット: Best Matching Unitとも呼ばれる)として選ばれる。すなわち入力データ<math>x</math>にもっとも近い参照ベクトル<math>m_i</math>を持つニューロンが勝者となり、そのデータを学習する権利をすべて獲得する。この競合原理はWinner-Take-Allとも呼ばれる。

　自己組織化マップの学習アルゴリズムは、競合・協調・適合という3プロセスの繰り返し計算である<ref name=Haykin1998>'''Haykin, S. (1998).'''<br>Neural Networks - A Comprehensive Foundation (2nd ed). Prentice Hall.</ref> [2]。時刻 tにおける入力データをx(t)とすれば、それにもっとも近い参照ベクトルを持つニューロンc(t)が時刻tの勝者となる:

一方、各ニューロンが学習する量はマップ空間上で勝者<math>c(t)</math>に近いニューロンほど大きい。この配分は近傍関数<math>h(\cdot,\cdot)</math>で決まる。近傍関数は勝者ニューロン<math>c</math>に対してニューロン<math>i</math>がどれくらいデータを学習するかを表し、しばしばガウス関数が用いられる:

　ここで<math>\mathbf{z}_c</math>, <math>\mathbf{z}_i</math>はマップ空間上でのニューロン<math>c</math>,<math>i</math>の座標であり、<math>\rho</math>は近傍の広さを決めるパラメータである。これが協調プロセスである。

　このように入力<math>x(t)</math>を変えながら競合・協調・適合プロセスを繰り返すのがオンライン型自己組織化マップのアルゴリズムである。また近傍の広さ<math>\rho</math>は学習の初期に広くしておき、学習が進むに連れて小さくしていく。このオンライン型アルゴリズムは、他の数理モデルや現実の脳との関連性を考えるうえで有用である。しかしオンライン型は学習時間がかかる上に計算結果が不安定であり、実データ解析には次に述べるバッチ型アルゴリズムを用いるべきであるとKohone自身も指摘している<ref name=Kohonen2013><pubmed>23067803</pubmed></ref>[6]。

::<math>\forall n, c(t)=arg\ m\underset{i}in||\mathbf{x}_{(t)}-\mathbf{m}_i(t)||</math>

::<math>\forall n,i</math>　　　<math>h_{ni}(t) = h (c_n(t), i)</math>

::<math>\forall i</math>　　　<math>\mathbf{m}_i(t+1):=\frac{\sum_nh_{ni}(t)\mathbf{x}_n}{\sum_{n'}h_{n'i}(t)}</math>

　自己組織化マップの学習理論に関しては多くの研究が行われてきた。Kohonenの自己組織化マップに直接対応する目的関数は存在しないが、アルゴリズムをわずかに修正することで目的関数を得ることができる<ref name=Heskes2001><pubmed>18249959</pubmed></ref> [3]。また自己組織化マップのアルゴリズムは競合・協調プロセスをEステップ、適合プロセスをMステップとするEMアルゴリズムとして解釈できる<ref name=Heskes2001 /><ref name=Verbeek2005>'''J.J. Verbeek, N. Vlassis, and B.J.A. Kröse. (2005).'''<br>Self-organizing mixture models. Neurocomputing, 63(SPEC. ISS.):99-123 [https://doi.org/10.1016/j.neucom.2004.04.008 PDF]</ref> [3, 13]。

　自己組織化マップは高次元データを低次元に射影して可視化するため、次元削減法の一種とみることができる。したがって高次元データの可視化やデータマイニングのみを目的とする場合は、他の次元削減法、たとえばt-SNE<ref name=VanDerMaaten2008>'''L. Van Der Maaten and G. Hinton. (2008).'''<br>Visualizing data using t-sne. Journal of Machine Learning Research, 9:2579-2625, 2008.</ref>[12], Isomap<ref name=Tenenbaum2000><pubmed>11125149</pubmed></ref>[10], Locally Linear Embedding <ref name=Roweis2000><pubmed>11125150</pubmed></ref>[9]などでも代用できる。これらの手法と自己組織化マップの大きく異る点は、学習終了後、新規の入力データに対してもマップ上へ射影できること、および新規データの予測や生成ができるという点である。

　新規データの射影・予測・生成も含めた自己組織化マップと等価な手法として、ガウス過程潜在変数モデル(Gaussianprocess latent variable model, GPLVM)がある<ref name=Lawrence2004>'''N.D. Lawrence. (2004).''' Gaussian process latent variable models for visualisation of high dimensional data.</ref>[7]。GPLVMはベイズ推論に基づくため柔軟な拡張が可能である。また教師なしカーネル回帰(Unsupervisedkernelregression, UKR) は自己組織化マップと同じ目的関数を用いており、自己組織化マップの直接的な発展形と見ることができる<ref name=Meinicke2005><pubmed>16173183</pubmed></ref>[8]。マップ空間を離散化する自己組織化マップと異なり、GPLVMとUKRは低次元空間を連続空間のまま扱える。また可視化を目的としないのであれば、変分オートエンコーダ(Variational auto-encoder, VAE)も自己組織化マップと同じ機能を持つ。現在の機械学習・AIの分野では自己組織化マップに代わってこれらの手法が広く使われている。