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「情報量」の版間の差分
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エントロピーは常に非負 <math>H \ge 0</math> であり、また、それがゼロになるのは、ある一つの事象が確率1でおきる（他の事象は全て確率ゼロ）という場合に限られることは、簡単に証明することができる。また、エントロピーが最大の値を取るのは、事象が<span class="texhtml">''n''</span> コのときには、全ての事象が同じ確率、つまり <span class="texhtml">''p''<sub>''i''</sub> = 1 / ''n''</span> のときで、その場合、<span class="texhtml">''H'' = log''n''</span>となる。<br> 6面体のサイコロの例に戻ると、式(2)を使うことで、サイコロを振る前と振った後で、不確実性の減少はどう表現されるだろうか？その減少した量が、サイコロを振ることで得られる情報の量に該当する。その減少の量、<span class="texhtml">''I'' = ''H''(</span>振る前<span class="texhtml">) − ''H''</span>'<span class="texhtml">(</span>振った後<span class="texhtml">)</span>と定義できる。今、サイコロを振る前は、式（２）を用いると<span class="texhtml">''H'' = log6</span> の不確実性となる。サイコロを振った後では、事象が１つに確定する、つまり事象の数は１でその事象の確率が1となるので、式(2)を用いると<span class="texhtml">''H''</span>'<span class="texhtml"> = 0</span>となる。したがって がその情報の量となる。より一般的、ある情報によって得られる情報量は、その不確実性の変化として、 &nbsp;yyyy として定義される。この定義で、自己情報量でなくエントロピーを使っているのには理由がある。サイコロの例などは、起きる事象が一つに確定できるのでわかりやすいが、より一般には、ある情報が与えられた後で、事象が確定できない場合のほうが多い。一例をあげると、翌日の天気を予測するのに、なにも知らないで予測するのと、天気予報の情報を得て予測する、という二つの場合を比べるときに、即ち天気予報の情報量を求めるときに、まだ翌日の天気は分かっていない、つまり自己情報量を用いることはできない。このような自己情報量を用いることができない場合も含めて、情報量を考えるためには、エントロピーの差として情報量を定義するほうが自然なのである。大胆に言えば、以上が「情報量」の本質である。以下、いくつかの但し書きを述べておく。 | エントロピーは常に非負 <math>H \ge 0</math> であり、また、それがゼロになるのは、ある一つの事象が確率1でおきる（他の事象は全て確率ゼロ）という場合に限られることは、簡単に証明することができる。また、エントロピーが最大の値を取るのは、事象が<span class="texhtml">''n''</span> コのときには、全ての事象が同じ確率、つまり <span class="texhtml">''p''<sub>''i''</sub> = 1 / ''n''</span> のときで、その場合、<span class="texhtml">''H'' = log''n''</span>となる。<br> 6面体のサイコロの例に戻ると、式(2)を使うことで、サイコロを振る前と振った後で、不確実性の減少はどう表現されるだろうか？その減少した量が、サイコロを振ることで得られる情報の量に該当する。その減少の量、<span class="texhtml">''I'' = ''H''(</span>振る前<span class="texhtml">) − ''H''</span>'<span class="texhtml">(</span>振った後<span class="texhtml">)</span>と定義できる。今、サイコロを振る前は、式（２）を用いると<span class="texhtml">''H'' = log6</span> の不確実性となる。サイコロを振った後では、事象が１つに確定する、つまり事象の数は１でその事象の確率が1となるので、式(2)を用いると<span class="texhtml">''H''</span>'<span class="texhtml"> = 0</span>となる。したがって がその情報の量となる。より一般的、ある情報によって得られる情報量は、その不確実性の変化として、 &nbsp;yyyy として定義される。この定義で、自己情報量でなくエントロピーを使っているのには理由がある。サイコロの例などは、起きる事象が一つに確定できるのでわかりやすいが、より一般には、ある情報が与えられた後で、事象が確定できない場合のほうが多い。一例をあげると、翌日の天気を予測するのに、なにも知らないで予測するのと、天気予報の情報を得て予測する、という二つの場合を比べるときに、即ち天気予報の情報量を求めるときに、まだ翌日の天気は分かっていない、つまり自己情報量を用いることはできない。このような自己情報量を用いることができない場合も含めて、情報量を考えるためには、エントロピーの差として情報量を定義するほうが自然なのである。大胆に言えば、以上が「情報量」の本質である。以下、いくつかの但し書きを述べておく。 | ||
1. 上に記述した情報量の概念を、複数の事象の確率（確率変数）に対して拡張することが一般的に可能である。なかでも、最も基本的なのは、二つの確率に基づく複合事象の関係に対して定義される「相互情報量」と「条件付きエントロピー」の概念である。二つの異なる事象系を考え、一つの系を<span class="texhtml">''i'' = 1</span>...<span class="texhtml">,''n''</span>で番号づけして、各々の事象を<span class="texhtml">''A''<sub>''i''</sub></span> と表し、もう一つの系を<span class="texhtml">''j'' = 1</span>...<span class="texhtml">,''m''</span>で番号づけして、各々の事象を<span class="texhtml">''B''<sub>''i''</sub></span> で表すと複合事象は<span class="texhtml">(''A''<sub>''i''</sub>,''B''<sub>''j''</sub>)</span>の組として与えられる。このとき相互情報量 <span class="texhtml">''I''(''A'',''B'')</span>は、 xxxxx となる。この相互情報量は、一方の系の事象を知ることで（たとえば<span class="texhtml">''A''</span>の系について知ることで）、他方の事象について（<span class="texhtml">''B''</span>の系について）どれだけの情報が得られるかを表している。それは、この式が、 YYYY と書き直せることからもわかる。この左辺の第2項に出ているのが条件付きエントロピーで、 xxxxx と定義される。 | 1. 上に記述した情報量の概念を、複数の事象の確率（確率変数）に対して拡張することが一般的に可能である。なかでも、最も基本的なのは、二つの確率に基づく複合事象の関係に対して定義される「相互情報量」と「条件付きエントロピー」の概念である。二つの異なる事象系を考え、一つの系を<span class="texhtml">''i'' = 1</span>...<span class="texhtml">,''n''</span>で番号づけして、各々の事象を<span class="texhtml">''A''<sub>''i''</sub></span> と表し、もう一つの系を<span class="texhtml">''j'' = 1</span>...<span class="texhtml">,''m''</span>で番号づけして、各々の事象を<span class="texhtml">''B''<sub>''i''</sub></span> で表すと複合事象は<span class="texhtml">(''A''<sub>''i''</sub>,''B''<sub>''j''</sub>)</span>の組として与えられる。このとき相互情報量 <span class="texhtml">''I''(''A'',''B'')</span>は、 xxxxx となる。この相互情報量は、一方の系の事象を知ることで（たとえば<span class="texhtml">''A''</span>の系について知ることで）、他方の事象について（<span class="texhtml">''B''</span>の系について）どれだけの情報が得られるかを表している。それは、この式が、 YYYY と書き直せることからもわかる。この左辺の第2項に出ているのが条件付きエントロピーで、 xxxxx と定義される。 | ||
2. なお上の記述ではエントロピーを式（２）で直接定義した。これに対して、どうしてこの式でよいのか、あるいは、他の式で定義するほうがより優れた量を定義できるのではないか、という疑問がでるかもしれない。実は、いくつかの満たすべき性質を最初に決めて（数学的に言えば、いくつかの公理を決めて）、それから式（２）を導出することができる。最初のほうに記述した直観的例（サイコロの例）は、実はこの満たすべき性質の具体例に対応している。導出の仕方にはいくつかあるが、通常、「非負性」（情報量は０か正の数にしたい）、「単調減少性」（確率の低い事象ほど大きくしたい）、「独立加法性」（サイコロの偶奇とそのグループ番号を知るのと、最初から番号を知るのが同じ；独立事象の積による情報量と、その各事象の情報量の和を等しくしたい）、「連続性」（確率の微妙な変化は情報量の連続的な変化に対応するとしたい）という性質を満たすとすると、式（２）の定義が自然に導出される。<br>単位についても触れておこう。たとえば、「長さ」の単位としては、メートルなどがあるが、「情報量」の単位はどうなのか。情報量は、本来は、無次元の量とされている。一方で、式（２）では対数 | 2. なお上の記述ではエントロピーを式（２）で直接定義した。これに対して、どうしてこの式でよいのか、あるいは、他の式で定義するほうがより優れた量を定義できるのではないか、という疑問がでるかもしれない。実は、いくつかの満たすべき性質を最初に決めて（数学的に言えば、いくつかの公理を決めて）、それから式（２）を導出することができる。最初のほうに記述した直観的例（サイコロの例）は、実はこの満たすべき性質の具体例に対応している。導出の仕方にはいくつかあるが、通常、「非負性」（情報量は０か正の数にしたい）、「単調減少性」（確率の低い事象ほど大きくしたい）、「独立加法性」（サイコロの偶奇とそのグループ番号を知るのと、最初から番号を知るのが同じ；独立事象の積による情報量と、その各事象の情報量の和を等しくしたい）、「連続性」（確率の微妙な変化は情報量の連続的な変化に対応するとしたい）という性質を満たすとすると、式（２）の定義が自然に導出される。<br>単位についても触れておこう。たとえば、「長さ」の単位としては、メートルなどがあるが、「情報量」の単位はどうなのか。情報量は、本来は、無次元の量とされている。一方で、式（２）では対数<math>(\log)</math>を使っている。慣用としては、式（２）のように対数の底を書かないときには、その底は、<span class="texhtml">''e''</span> 、つまり対数は自然対数<span class="texhtml">(log<sub>''e'' | ||