「Hodgkin-Huxley方程式」の版間の差分

Alan Lloyd Hodgkin (1914-1998)とAndrew Fielding Huxley (1917- )は、ともにイギリスの電気生理学者である。イカの巨大軸索における活動電位の発生と伝搬を測定し、その解析から現在の電気生理学の基礎となる概念を生み出すとともに、興奮性細胞(神経細胞、心筋、骨格筋)の電気現象を定量的に扱う道を開いた<ref><pubmed> 12991237 </pubmed></ref>。HodgkinとHuxleyは、電気生理学の基礎を築いた功績により、同じく電気生理学者のJohn Carew Ecclesと3人で、1963年のノーベル医学・生理学賞を受賞している。

#活動電位発生時に、ナトリウムイオン(Na⁺)とカリウムイオン(K⁺)が、細胞膜の別々の通路を通ることを示した。この発見はイオンチャネルの存在を予測するものであり、その後のイオンチャネル研究の源となった。なお当時の論文では、イオンチャネル・チャネルという用語は用いられておらず、コンダクタンスという用語が使用されている。

#Na⁺チャネル、K⁺チャネルが開閉する非線形な動態を微分方程式を含む数式で表した。これらの式はまとめてHodgkin-Huxley (HH)方程式と呼ばれる。

#Na⁺チャネル、K⁺チャネルおよびleakチャネルを示す数式を組み合わせ、活動電位の発生・伝播を数値的に再現した。現在行われている興奮性細胞の電位シミュレーションは、要素が増えるなどして複雑になっているが基本は変わらない。

HodgkinとHuxleyは、電位固定法（voltage-clamp、下記参照）を用いて活動電位に伴うNa⁺とK⁺のコンダクタンス（通りやすさ、抵抗の逆数)の変化を定量的に解析し、Na⁺とK⁺には別々の通り道があることを示した。そしてNa⁺とK⁺のコンダクタンスが電位に依存的なゲート（gate）により開閉されると考えた。

''m''、''h''、''n''は、ゲートが開いている割合を示す値で、単純なTwo-state&nbsp;modelに従う。''m''と''n''は、静止時に閉じており脱分極した時に開く。一方、''h''は静止時に開き脱分極時に閉じる。''m''と''n''ではなく、''m''³および''n''⁴としたのは、主に電流の立ち上がりの形をよく再現するためである。  

電流はコンダクタンスと電圧に比例する（''I'' = ''GV''; Ohmの法則）。電圧の大きさは、細胞膜内外のイオン濃度差による電位（平衡電位）を補正しなくてはならない（v-E_X）。 従って、 Na⁺とK⁺により担われる電流''I''_Naと''I''_Kは、Na⁺とK⁺の最大コンダクタンスをそれぞれ ''G''^max_Na、''G''^max_K 、平衡電位を''E''_Na、''E''_Kとすると、&nbsp;  

という式で表される。また主にクロライドイオン（Cl^-）を通し静止電位保持に主要な役割を果たすリーク(leak)チャネルは、コンダクタンスは電位に依存しないとして、

''m''、''h''、''n''はTwo-stateモデルに従う値である。 開く速度定数αと閉じる速度定数βはいずれも電位に依存する。 HodgkinとHuxleyは''m''、''h''、''n''のそれぞれについていろいろな電位での αとβの値を実験的に測定し、一連のイカ巨大軸索を用いた実験値を便宜的に次の数式で表した。これらの式は何らかの理論から導きだされたものではない。なお注意すべき点として、以下の式で用いられている変数''v''は、膜電位''V''_''m''そのものではなく静止電位を基準とした電位を意味している。

<br>  

電位固定実験から得られた上記の式を用いると、電位の変化に応じて変化するNa⁺チャネルとK⁺チャネルのコンダクタンスを計算することができる。 一方、細胞の電位は、電流の入出により変化する。もし電位の初期条件と電流の時間経過がわかっていれば、電位を計算する事が出来る。 これらを組み合わせることにより、細胞の電位の変化を計算できる。この関係は、現在広く行われている興奮性細胞の電位のシミュレーションの基本である。

細胞をキャパシタ（コンデンサ）と考える。細胞外液の電位を0とする。細胞膜の電位を''v''、蓄えられる電荷を''Q''、静電容量(capacitance)をCとすると、  

::<math>I = G^{max}_{Na} m^3 h (v-E_{Na}) + G^{max}_{K} n^3 (v-E_{K}) + G_{leak}(v-E_{leak})\, </math>

::<math>\frac{dv}{dt} = -\frac{1}{C}\left(G^{max}_{Na} m^3 h (v-E_{Na}) + G^{max}_{K} n^3 (v-E_{K}) + G_{leak}(v-E_{leak})\right)\, </math>

となる。 <br>

== 電位固定法: 基礎となった技術*  ==

 

外部より電流''I''_extを流した場合、電位の変化は、次の式で示される。  

この式から、''I''_extと電位との関係を理解する事は難しい。しかし''v''が一定となるような外部電流''I''_clampを流すと、左辺は0となるため、  

となる。これはOhmの法則である。ここで''I''_clampは実験の測定値、''v''は実験の設定値、''E''_Aは実験条件で定まる定数なので、  

の関係式を用いて、実験データよりイオンチャネル''A''のコンダクタンス''G''_Aを算出できることになる。  

 

 

== Two-state model: 基礎的な考え方* ==

OpenとClosedの2つの状態がある系で、他の状態に移る率が一定の場合、次の性質がある。<br>  

*指数関数的に変化し、一定の値に近づいていく。

OpenとClosedの2つの状態がある系を考え、Openの状態にある確率を''p''とする。Closedの状態にある確立は, 1-''p''となる。''p''は時刻''t''の関数であり、''p''(''t'')と表わすとする。  

いま状態Closedから状態Openへ移っていく単位時間での割合(速度定数、rate constant)をαとし、状態Openから状態Closedへの速度定数をβとする。 ''p''(''t'')の時間的経過を表わす微分方程式は、  

::<math> q(t) = q(0)e^{-(\alpha + \beta)}\, </math>

なお、このTwo-stateモデルは''n''-stateモデルに拡張することが可能であり、拡張された式はMarkov過程のシミュレーション等に用いられている。  

#Single-channel recording

#Markovモデル<br>

== 現在におけるHHモデル ==

== References ==