「積分発火モデル」の版間の差分

　神経細胞の電気的特性については、HodgkinとHuxleyによって細胞膜上に発現しているイオンチャネルの膜電位依存性とそれらによる活動電位生成機構、およびその数理的な表現が明らかにされたが<ref name=Hodgkin1952><pubmed>12991237</pubmed></ref>[1]、それ以前にLapicqueによって、細胞膜のキャパシタとしての特性や神経興奮現象（活動電位生成）に対する閾値となる電位、および、閾値に到るまでの過程について詳細に調べられていた<ref name=Lapicque1907><pubmed>Lapicque, L. (1907).<br>Recherches quantitatives sur l'excitation électrique des nerfs traitée comme une polarization. Journal de physiologie et de pathologie générale, 9, 620-635.</pubmed></ref> <ref name=Lapicque2007><pubmed>18046573</pubmed></ref> [2,3]。入力として与えられた電流はキャパシタとしての特性により膜電位に積算（integrate）される。膜電位が上昇して閾値に到達すると、活動電位を発生（fire）する。この膜電位の閾値に達するまでの積算過程をモデル化したのが、積分発火モデルである。このモデルでは活動電位生成中の膜電位変動は記述しない。それは非常に短時間（< 2msec）の過程であり、膜電位挙動のほとんどの時間が閾値に到るまでの積算過程であるとみなせるためである。神経細胞の状態を表す変数が膜電位のみの1変数であるため、計算量も多くない。このため、多くの研究において、採用されてきたモデルである。一方で、神経細胞応答の本質であるアクティブな膜伝導性を一切無視したモデルであるため、実際の神経細胞応答とは異なる特性を示すことから、その拡張モデルも多く提案されてきた。以下では、まず、基本となる積分発火モデルであるLeaky Integrate-and-Fireモデル（LIFモデル、と呼ばれる）を解説し、次にその拡張モデルとして代表的なものを紹介する。

積分発火モデル（Integrate and fire model）

脂質二重層からなる神経細胞の細胞膜により、電荷をもつイオンは細胞膜からの流出入を妨げてられている。細胞外の電位を基準電位 (0 mV) とした場合、細胞内の電位を表す膜電位は、通常、負の値をもつ過分極した状態（およそ–70 mV付近）をとる。神経細胞は、細胞膜の外側と内側にそれぞれ正の電荷および負の電荷をもつイオンを帯電させた状態になり、細胞膜はキャパシタの性質を有する。細胞膜上に発現したタンパク質であるイオンチャネルが、その状態によってイオンの流出入を促す場合があり、膜電位の変化をもたらす。膜電位をVとし、細胞膜の膜容量をCm、細胞膜（実際にはイオンチャンネル）を透過する電流 (膜電流) をImとすると、

(1)式の両辺をGLで割ることにより、τm=Cm/GL, GL=Rm–1を用いて

拡張された積分発火モデル

(i) 非線形積分発火モデル

が1次関数) である。しかし、神経細胞は非線形システムであり、Hodgkin Huxley (HH) モデ を非線形関数で表したモデルがいくつか提案されてきた。また、HHモデルから、早いチャネ の関数に置き換え、遅いチャネル変数を定数に置き換える近似により、非線形積分発火モデルを導出できる<ref name=Abbott1990><pubmed>Abbott, L.F. & Kepler, T.B. (1990).<br>Model neurons: from Hodgkin-Huxley to Hopfield." In Statistical mechanics of neural networks (pp. 5-18). Springer, Berlin, Heidelberg.

[https://doi.org/10.1007/3540532676_37 PDF]</pubmed></ref><ref name=Jolivet2004><pubmed>15277599</pubmed></ref>

[4,5]。

に拡張したQuadratic Integrate and Fire (QIF) モデルである。このモデルはサドルノード分岐を示す力学系の分岐点近傍の標準系 (Normal form) として得られたものである<ref name=Ermentrout1996><pubmed>8697231</pubmed></ref>[6]。QIFモデルには限られたタの微分方程式に拡張した<ref name=Izhikevich2003><pubmed>18244602  MATLABコードが著者の [https://www.izhikevich.org/publications/spikes.htm ホームページ]にある。</pubmed></ref>[7]。

にリセットされる。このモデルは、多様な神経細胞<ref name=McCormick1985><pubmed>2999347</pubmed></ref> <ref name=Nowak2003><pubmed>12626627</pubmed></ref> [8,9] が持つ、さまざまな発火特性を再現できる。

(ii) 変動閾値モデル  

  をリセットする。積分発火モデルでは閾値を定数としている。その一方で、実験データ<ref name=Azouz2000><pubmed>10859358</pubmed></ref> <ref name=Henze2001><pubmed>11483306</pubmed></ref>[13,14] やHHモデル<ref name=Platkiewicz2010><pubmed>20628619</pubmed></ref> <ref name=Kobayashi2016><pubmed>27085337</pubmed></ref>[15,16] では閾値が変動しているという報告がある。

まず、スパイクによって閾値が変動すると考えられる。閾値がスパイクによって変動するモデルとして、Multi-timescale Adaptive Threshold (MAT) モデル<ref name=Kobayashi2009><pubmed>19668702</pubmed>C および MATLABコードが著者の[http://www.hk.k.u-tokyo.ac.jp/r-koba/applications/pred_JP.html ホームページ]にある。</ref>

[ms] は時定数である。MATモデルは、膜電位が閾値に達したら、膜電位をリセットする代わりに閾値を上昇させるという点において積分発火モデルと異なる(図1)。このモデルは、わずか3つのパラメータで脳を構成する多様な発火パターンを再現する (図2)。MATモデルは、スパイクに着目した線形化近似を行うことで、HHモデルから導出することもできる<ref name=Kobayashi2016></ref> [16]。この解析により、速い時定数〜10 [ms] は膜時定数、遅い時定数〜200 [ms] は遅いカリウムイオン電流 (Mタイプ電流K+電流やCa2+活性化K+電流) に対 として指数関数を仮定し、膜電位をリセットするモデルもある<ref name=Liu2001><pubmed>11316338</pubmed></ref><ref name=Jolivet2008><pubmed>18160135</pubmed></ref><ref name=Levakova2019><pubmed>31387478</pubmed></ref> [18,19,20]。