ケーブル理論

山崎良彦　藤井聡
山形大学医学部生理学講座
DOI：10.14931/bsd.7666　原稿受付日：2018年4月2日　原稿完成日：2018年6月11日　一部修正：2021年9月3日
担当編集委員：河西 春郎（東京大学大学院医学系研究科）

英語名：cable theory　独：kabeltheorie

同義語：ケーブル特性

　神経突起（軸索と樹状突起）の一点に電気刺激が与えられると膜電位の変化が突起に沿って広がる。しかし、一般的な細胞膜の電気抵抗は完全な絶縁物ほどには高くなく、また神経突起は良導体である細胞外液中に存在するので、与えられた電気量は細胞膜を横切って細胞外に流れ出る。神経突起の膜自体に能動的な変化が起こらなければ、刺激が与えられた点からの距離が長くなるに従って膜電位変化の大きさは指数関数的に減衰する。このような性質を漏出性の電気ケーブルとの類似性からケーブル特性といい、その特性を理論的に取り扱うのがケーブル理論である。

歴史

　ケーブル理論は、1850年代に通信用海底ケーブルにおける信号減衰の数理モデルとしてKelvinにより提案された。海底ケーブルは導体から構成され、被覆物によって周囲の海水から絶縁されている。神経突起も円筒状の導体であり、細胞膜によって細胞外の電解質溶液から隔されているため、海底ケーブルと類似した性質を持つと考えられる。神経突起のケーブル特性は1937年にHodgkinにより実験的に確かめられ、そしてHodgkinとRushtonによりケーブル理論が神経軸索における電気緊張性電位の解析に用いられた。 神経突起に対しては、神経突起を「誘電体によって絶縁された導電体が抵抗の小さい媒体中に沈んだもの」というモデルとみなし、このモデルの電気的性質を理論的に取扱うものとしてケーブル理論が適用されている。

ケーブル特性と電気緊張性電位

図1. 神経突起（軸索あるいは樹状突起）を円柱状のケーブルとしたときの等価回路図
パラメータはすべて単位長さあたりのもの。

図2. ケーブル上を波及する電気緊張性電位
ある一点に定常電流を注入した場合、細胞内各点で注入点からの距離（x）に応じて局所電流が発生し（上段）、電位変化が起こる（下段）。その電位変化は、長さ定数λの距離で離れた点では注入点の１/e (約37％)に減衰する。文献 より改変

　神経突起に過分極性電流あるいは閾値未満の脱分極性電流を注入すると膜電位の変化が突起に沿って広がる。電位変化の大きさは注入場所からの距離に従って指数関数的に減衰する。このような性質をケーブル特性といい、この距離に関しての電位変化を電気緊張性電位という。

　生体内では、細胞体で発生した電位変化は細胞体膜表面全体に広がり、細胞体膜に連結している神経突起に伝導される。神経突起のなかでも長い樹状突起ないし無髄軸索を、均質な細胞質を一様な細胞膜が取り巻いている円柱の連結に見立てることにより（図1）、電気緊張性電位の波及についてケーブル理論が適用される。理論によると、神経突起の膜抵抗と細胞質の内部抵抗がケーブル特性に影響する。

　微小電極で仮想的な神経突起ケーブルのある1点（x = 0）に電流を注入しこの点を定電位V₀ に保つようにすると、x = 0から長軸方向へ電流が広がる（図2）。注入された電流は、注入点から離れるに従い膜を横切って細胞外へ流れ出てしまうため、長軸方向に流れる電流は次第に減少する。突起内各点での最終的な定常状態での電位変化は、x = 0からの距離（x）を用いて表される（図2）。電流注入点からの距離xでの電位変化は、

$V=V_{0}e^{{-x}/{\lambda }}$

と表すことができ、指数関数的な減衰を示す。λ は長さ定数（length constant）といい、x = λのところでV はV₀ の約37%（1/e）に減衰する。λ が大きいと、電流注入点からより遠くの計測点まで電流が減衰しない、ないし、膜電位がある一定以上に保たれることになる。長さ定数λは、図１の３つの抵抗要素によって決まるが、細胞外抵抗は細胞内抵抗に比べ非常に小さいので、単位長さあたりの細胞内抵抗値をr_i、単位長さあたりの膜抵抗値 をr_mとすると、以下のように表すことができる。

$\lambda ={\sqrt {\frac {r_{m}}{r_{i}}}}$

さらに、神経突起の半径をa、神経突起断面における膜の単位面積あたりの膜抵抗をRm、突起の断面積あたりの内部抵抗を Ri とすると、

$r_{i}={\frac {R_{i}}{{\pi }a^{2}}}$　　　　$r_{m}={\frac {R_{m}}{2{\pi }a}}$

なので、長さ定数λ は以下のように表すことができる。

$\lambda ={\sqrt {\frac {R_{m}a}{R_{i}2}}}$

　長さ定数λ は神経突起半径の平方根、および、神経突起全周の膜抵抗値の平方根に比例し、神経突起断面の内部抵抗値に反比例する。したがって、神経突起上のある一点から波及する電気緊張性電位は、

1. 軸索半径a が大きいほど、
2. 内部抵抗値 Ri が低い、すなわち神経突起内の抵抗が低いほど、
3. 軸索全周の膜抵抗値 Rm が高いほど、

電流注入点からより遠くの計測点まで電流が減衰しない、あるいは、膜電位変化が一定以上に保たれることになる。

　上述のような定常状態であれば容量電流は無視できるが、注入電流が一定でない場合や矩形波の刺激電流が最初に流れるときなどは、膜容量の効果もあわせて考える必要がある。定電流I が注入された場合、膜抵抗値をR とすると、ある特定の地点での膜電位の経時的変化は、

$V=IR(1-e^{t/{\tau }})$

である。ここで、τ は時定数であり、単位長さあたりの膜容量を cm,、単位長さあたりの膜抵抗を r_m、とすると、τ = c_m×r_m である。時定数τ は膜電位が最大値の約63% に達するまでの時間となり、τ が大きいと膜電位はゆっくりと上昇する。

定常電流の注入が終了したあとの、ある特定の地点での膜電位の経時的変化は、電流終了前の電位をV0 とすると、

$V=V_{0}e^{{-t}/{\tau }}$

であり、時定数τ が大きい場合、膜電位の変化が長く続くことになる。τ は膜電位が初期値の約37% に減衰するまでの時間となる。

　ケーブル特性のパラメータとして定数τ を考える場合、神経突起における電位変化の時間的広がりに影響する指標といえる。また、神経突起ケーブルで矩形波電流が注入される場合、細胞内各点における電位の経時的変化には膜容量の効果が加わり、注入部位からの距離が離れるほど、電位変化が小さくなるだけでなく、立ち上がりの速度も遅くなることが示されている。

軸索における興奮伝導とケーブル特性

図3. ケーブルに沿った興奮伝導
定常電流の注入による電気緊張性電位の波及と活動電位の発生。

　ケーブル特性は静止膜での性質として示されるため、ケーブル理論で記述される反応（電気緊張的電位）と実際の軸索で生じる活動電位とは、発生した地点から軸索に沿って広がる仕組みが大きく異なる。しかし、興奮伝導には電位依存性に開口するNa⁺チャネルによる電流だけでなく、電位変化を近接部位に電気緊張性に伝えるケーブル特性による局所電流も関与する。すなわち、電気緊張性電位が軸索ケーブル沿いに波及する結果、軸索内から細胞外に向かう局所電流が発生し膜電位が変化する（この変化により、電位が閾値以上にシフトすると、自己再生的に電位依存性Na+ チャネルが開口して活動電位が発生する）ことが必要である（図３）。

　また、ケーブル理論で述べられる長さ定数λ は伝導速度を規定するパラメータとなり、λ が大きい場合には電気緊張性電位の減衰が小さく、電流注入点からより離れた地点でも電位変化がNa⁺チャネルの閾値以上に達する。すなわち、無髄軸索上の1点で発生した活動電位は、より遠い地点で自己再生されることになるため、興奮伝導速度がより速くなる。長さ定数λ を大きくするためには、軸索径を大きくして内部抵抗を小さくすることが考えられ、ヤリイカの巨大軸索では約0.5～1 mmの直径で、長さ定数は約13 mmと大きな値となっている。

　有髄線維では、膜の性質が一様ではないため受動的なケーブル特性をそのまま用いることは適切ではないが、活動電位の伝導速度を速くするためには長さ定数λ を大きくすればよいということは適用できる。軸索に髄鞘が形成されることは、膜が厚くなるのと同じような効果をもたらすため、膜抵抗が格段に大きくなり、膜容量は小さくなる。このとき、長さ定数λが大きくなり、また時定数は小さくなるため（近接部位がより早く閾値に達することになる）、伝導速度が著しく速くなる。

神経細胞のもつケーブル特性の重要性

図4. 神経細胞におけるシナプス電位の時間的加重と空間的加重
文献　より改変。

　神経細胞は、他の神経細胞からのシナプスを介した信号を複数の樹状突起および細胞体の膜で受容し、その結果、神経細胞はこれらの細胞膜に発生した局所電位の変化を積算して活動電位として表出する。ケーブル特性はシナプスにおけるこの統合過程の物理的基盤となっている。シナプス後細胞でおこるシナプス反応の空間的加重や時間的加重、すなわち反応の局所的統合は、膜の（閾値下の）ケーブル特性によって行われる。

　空間的加重や時間的加重の程度は、それぞれ長さ定数と時定数によって規定される（図４）。ただし、樹状突起では、時定数が大きい場合に電位変化が長く持続することになり、その結果、時間的加重がより大きくなるのに対し、軸索においては、上述の通り逆に時定数が短い方が膜の隣接部位がより早く閾値に達することになるので、伝導速度は速くなる。

　また、長さ定数が大きい場合は、信号が閾値以下に減衰する前に遠くへ到達することになるため、伝導速度は速くなる。ケーブル特性を決定するパラメータによって、電気緊張性電位の波及による局所電流や活動電位が、生体組織においてどのように広がるかが規定されている。このことは、小さな神経細胞より発生した膜電位の変化が、遠方の細胞まで確実に伝達されるための巧妙な細胞内機構が備わっていることを示すものである。