「情報量」の版間の差分

簡単な例— 1 から 6 まで数字がでるサイコロ—でもう少し先まで考えてみることで、情報量が持っていてほしい性質を捉まえてみよう。このサイコロでどの目も確率6分の1で出るはずだが、サイコロをふるまではどの目がでるかはわからない。ひとたびサイコロを振ると、ある目が出る。このサイコロを振る前と振った後では、不確実さが減っている。これをどのように測るかが情報量を定義するときに本質的な課題である。さて6面体のサイコロから、20面体のサイコロに変えたとしよう。この場合もサイコロを振る前と振った後では不確実さが減るわけだが、どちらのサイコロの場合のほうが不確実さは減るだろうか？直観的に言って、出るかもしれない目が多いのだから（20面体では各々の目の出る確率は20分の1であり、6分の1よりも小さいから）、サイコロを振ることで減った不確実さは、20面体のときのほうが大きい。つまり、確率の小さな事象が起きたことを知るときのほうが、不確実さの減り方は大きい、すなわち情報量が大きいとしたい。では、6面体の例に戻って、サイコロを振ったあとで、出た目の数は自分では直接見れないけれども、別の人が出た目を見て、偶数だったか奇数だったか教えてもらえるとしよう。この場合、偶数か奇数かはわかるので、サイコロを振る前よりは不確実さは減ってはいるけれども、出た目を自分で直接見るのに比べれば、その減り方は少ない。さて、偶数か奇数か教えてもらった後で、偶数グループの3つの数字にあらためてＡ，Ｂ、Ｃ（奇数グループはＣ，Ｄ，Ｆ）と番号づけておいて、その番号を教わったとする。当然のことながら、このＡ，Ｂ，Ｃのどれかだったかを教われば、もともと1～6の数字のどれが出たのかはわかることになる。この偶奇を教わってからグループの番号を教わることで最終的に減った不確実さは、最初から自分で数字を見るときに減った不確実さと同じであってほしいのは直観的に明らかだろう。  

2. なお上の記述ではエントロピーを式(2)で直接定義した。これに対して、どうしてこの式でよいのか、あるいは、他の式で定義するほうがより優れた量を定義できるのではないか、という疑問がでるかもしれない。実は、いくつかの満たすべき性質を最初に決めて（数学的に言えば、いくつかの公理を決めて）、それから式(2)を導出することができる。最初のほうに記述した直観的例（サイコロの例）は、実はこの満たすべき性質の具体例に対応している。導出の仕方にはいくつかあるが、通常、「非負性」（情報量は0か正の数にしたい）、「単調減少性」（確率の低い事象ほど大きくしたい）、「独立加法性」（サイコロの偶奇とそのグループ番号を知るのと、最初から番号を知るのが同じ；独立事象の積による情報量と、その各事象の情報量の和を等しくしたい）、「連続性」（確率の微妙な変化は情報量の連続的な変化に対応するとしたい）という性質を満たすとすると、式（２）の定義が自然に導出される。&lt;br&gt;単位についても触れておこう。たとえば、「長さ」の単位としては、メートルなどがあるが、「情報量」の単位はどうなのか。情報量は、本来は、無次元の量とされている。一方で、式(2)では対数<span class="texhtml">(log)</span>を使っている。慣用としては、式（２）のように対数の底を書かないときには、その底は、<span class="texhtml">''e''</span> 、つまり対数は自然対数<span class="texhtml">(log_''e'')</span> を用いていると考える。この自然対数を考えた時の情報量の単位は、ナット(nat)と決めれている。他に、情報量を議論をするときにしばしば用いられるのは、対数の底を２とする場合で、その時の情報量の単位は、ビット (bit)と呼ばれている。<br>また、本項目では情報量は、もとになる確率が離散の場合（いくつかの個別の事柄として事象を数えられる場合）について記述した。実際には、事象が連続の場合もある。たとえば、正規分布に従って起きる事象などはその例となる。このような連続の値を取るような場合にも情報量を定義できる。本質的な考え方は離散の場合と同様である。

<br>3. 「情報量」の概念は、1948年のクロード・シャノンの「通信の数学的理論」によって明らかになった(Shannon and Weaver, 1949)<ref>'''Shannon, C., and Weaver, W.'''<br>A Mathematical Theory of Communication<br>''University of Illinois Press'':1949</ref>、。一方で、その源流の一つには物理学の研究の流れ（[[熱力学]]・[[統計力学]]などでのエントロピーという概念の提唱）があった（Ｗｉｋｉｐｅｄｉａの情報量、ＸＸＸなどの項目を参照のこと）。情報量の概念は、現在では、諸分野にまたがって広く用いられている一般的な概念となっている。日本語のわかりやすい解説としては、たとえば、情報理論では甘利(甘利俊一, 1996)<ref>'''甘利 俊一'''<br>情報理論<br>''ダイヤモンド社'':1996</ref>、熱力学では田崎(田崎晴明, 2000)<ref>'''田崎晴明'''<br>熱力学 ― 現代的な視点から, Vol 32<br>''培風館'':2000</ref>などがある。<br>その定式化に用いられるlogを使って確率分布に関する平均的量を評価する方法は、たとえば、二つの[[確率分布]]の近接性を評価する際に用いられる[[カルバック―ライブラー情報量]]など、広く用いられている。現在の統計情報科学（[[情報理論]]、[[統計科学]]、[[機械学習]]、[[情報幾何]]など）で基礎的な概念として用いられている(Amari and Nagaoka, 2000<ref>'''Amari, S., and Nagaoka, H.'''<br>Methods of Information Geometry<br>''OXFORD UNIVERSITY PRESS'':2000</ref>; Cover and Thomas, 2006)<ref>'''Cover, T., and Thomas, J.'''<br>ELEMENTS OF INFORMATION THEORY Second Edition <br>''WILEY'':2006</ref>、。一方で、この情報量の定式化を拡張することで新たな展開を目指す試みは、現在でも盛んに行われている。たとえば、上述した４つの性質のうちの一部を緩めたり、あるいは一般化することで新たな性質をもつ基本的な量が定義できたりする。それらの科学の発展の基礎にある情報量の概念は、今後より一層重要な概念になるだろう。  

*この考え方は、外界刺激の符号化のみならず、符号化を評価する、つまり、神経細胞集団活動（または個々の神経細胞活動）があるときに、どれほど正確にもとの外界刺激の情報を再現できるか、という評価を行うことで、その情報処理を解明するというアプローチにも適用できる。