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==はじめに== | ==はじめに== | ||
[ニューロン]]の状態やその変化を記述するモデルは、大きく2つに分けられる。一つは、ニューロンの電気的性質である[[膜電位]]やその変化の結果生じる[[活動電位]]（[[神経スパイク]]、あるいは単に[[スパイク]]、もしくは[[発火]]）などをニューロンの状態や出力として扱う[[電気生理学]]的観点からのモデルである。もう一方は、[[視覚]]や[[触覚]]などの[[感覚]]刺激を与えた時のニューロンの応答の観測に基づき、外界の情報を[[符号化]]していると考えられる発火頻度をニューロンの状態とするモデルである。 | |||
前者はスパイクの生成を扱うので、[[スパイキングニューロンモデル]]とも呼ばれる。生物物理機構に基づいたより詳細なモデルの場合、電気生理実験などの実験結果との比較も可能となる。また、個々のスパイク生成のタイミングを扱うことができるため、神経情報の媒体であるとする[[テンポラルコーディング]]を考慮する研究に用いられることが多い。 | |||
後者は、前者と比べて簡潔なモデルであるため理論的解析が行いやすく、単一細胞レベルと言うよりは、回路レベルでの情報処理機構の理論研究に用いられることが多い。発火頻度が神経情報の媒体とする[[レートコーディング]]を扱う研究で用いられる。 | |||
==膜電位モデル== | ==膜電位モデル== | ||
ニューロンの[[細胞膜]]の電気的特性については、電気生理学実験により明らかにされ、膜電位<math>V</math>の時間変化は、細胞膜の[[電気容量]]を<math>C_m</math>、細胞膜を透過する[[膜電流]]を<math>I_m</math>、外部からの注入電流を<math>I_{app}</math>とすると<br> | |||
::<math> | ::<math> | ||
C_m\frac{dV}{dt} =-I_m+I_{app} | C_m\frac{dV}{dt} =-I_m+I_{app} | ||
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===積分発火モデル=== | ===積分発火モデル=== | ||
膜電流としてリーク電流のみを取り入れ、活動電位の生成機構はモデル化せず、[[閾値]]到達時に活動電位発生の処理と膜電位のリセットを行う<ref name=Lapicque1907> '''Lapicque, L. (1907).'''<br>Recherches quantitatives sur l'excitation électrique des nerfs traitée comme une polarization." Journal de physiologie et de pathologie générale, 9, 620-635. </ref><ref name=Lapicque2007><pubmed>18046573</pubmed></ref>。''詳細は[[積分発火モデル]]の項目参照。'' | |||
===Hodgkin-Huxleyモデル=== | ===Hodgkin-Huxleyモデル=== | ||
[[w:アラン・ロイド・ホジキン|Hodgkin]]と[[wj:アンドリュー・フィールディング・ハクスリー|Huxley]]により、[[ヤリイカ]]の[[巨大軸索]]を用いた神経興奮現象の計測とその計測データのモデル化により提案された<ref name=Hodgkin1952><pubmed>12991237</pubmed></ref>。膜電流として[[リーク電流]]に加え、[[Naチャネル]]と[[遅延整流型Kチャネル]]を取り入れる。後者2つは活動電位生成機構を担う。''詳細は[[Hodgkin-Huxley方程式]]の項目参照。'' | |||
===コンダクタンスベースモデル=== | ===コンダクタンスベースモデル=== | ||
Hodgkin- | Hodgkin-HuxleyモデルにおけるNaチャネルや遅延整流型Kチャネルの動力学にならい、他の[[イオンチャネル]]も同様のモデル化を行うことで、細胞膜上に発現した多様なイオンチャネルをモデル化することができる。この場合、膜電流は | ||
::<math> | ::<math> | ||
I_m=\sum_k{g_k}(t)(V-E_k) | I_m=\sum_k{g_k}(t)(V-E_k) | ||
</math> | </math> | ||
のように書ける。<math>g_k(t)</math>は、k種類目のイオンチャネルのコンダクタンス（抵抗の逆数）を表し、<math>E_k</math> | のように書ける。<math>g_k(t)</math>は、k種類目のイオンチャネルのコンダクタンス（抵抗の逆数）を表し、<math>E_k</math>は、そのイオンチャネルが透過させるイオンの[[平衡電位]]を表す。コンダクタンスはHodgkin-Huxleyの定式化にならい、一般に | ||
::<math> | ::<math> | ||
g(t)=g_{max}m^ah^b | g(t)=g_{max}m^ah^b | ||
</math> | </math> | ||
の形に表せる<ref name=Hille2001>'''Hille, B. (2001).'''Ion channels of excitable membranes (3rd Edition). Sinauer, Sunderland, Massachusetts.</ref>[4] | の形に表せる<ref name=Hille2001>'''Hille, B. (2001).'''Ion channels of excitable membranes (3rd Edition). Sinauer, Sunderland, Massachusetts.</ref>[4]。<math>m</math>は活性化ゲート変数、<math>h</math>は不活性化ゲート変数である。イオンチャネルによっては、どちらか一方しか持たないものもある。 | ||
イオンチャネルの活性化・不活性化が細胞内[[カルシウム]]イオン濃度に依存するものがあれば、膜電位、各種イオンチャネルの[[ゲート変数]]の[[動力学]]に加え、細胞内カルシウムイオン濃度の動力学のモデルも必要となる。細胞内カルシウムイオン濃度<math>[Ca^{2+}]</math>の最も簡易なモデルは、 | |||
::<math> | ::<math> | ||
\frac{d[Ca^{2+}]}{dt}=-\alpha{I_{Ca}}-\frac{[Ca^{2+}]}{\tau_{Ca}} | \frac{d[Ca^{2+}]}{dt}=-\alpha{I_{Ca}}-\frac{[Ca^{2+}]}{\tau_{Ca}} | ||
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となる<ref name=DeSchutter1998>'''De Schutter, E., Smolen, P. (1998)'''<br>Calcium dynamics in large neuronal models. In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 211-250.</ref>。<math>\alpha</math>は電流から濃度への変換を表す定数、<math>I_{Ca}</math>はカルシウムイオン電流、<math>\tau_{Ca}</math>はカルシウムイオン濃度の減少に関する時定数を表す。 | となる<ref name=DeSchutter1998>'''De Schutter, E., Smolen, P. (1998)'''<br>Calcium dynamics in large neuronal models. In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 211-250.</ref>。<math>\alpha</math>は電流から濃度への変換を表す定数、<math>I_{Ca}</math>はカルシウムイオン電流、<math>\tau_{Ca}</math>はカルシウムイオン濃度の減少に関する時定数を表す。 | ||
ニューロンは、[[樹状突起]]や[[軸索]]の突起を有する空間的に広がった形態が特徴である。一般的には、同じ細胞でも部位毎に膜電位が異なっていると考えられる。上記のモデルは、1つの細胞に対し、膜電位は部位に寄らず一様である（[[等電位]]; isopotential）という仮定に基づいている。ニューロンの形態的特徴をモデル化するには、膜電位が時間<math>t</math>だけでなく部位<math>x</math>の関数として扱う必要がある。 | |||
===ケーブル方程式=== | ===ケーブル方程式=== | ||
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C_m\frac{\partial{V}(x,t)}{\partial{t}}=-I_m+A\frac{\partial^2V(x,t)}{\partial{x^2}}+I_{app} | C_m\frac{\partial{V}(x,t)}{\partial{t}}=-I_m+A\frac{\partial^2V(x,t)}{\partial{x^2}}+I_{app} | ||
</math> | </math> | ||
のように表せる<ref name=Rall1998>'''Rall, W., Agmon-Snir, H. (1998)'''.<br>Cable theory for dendritic neurons. In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 27-92.</ref> | のように表せる<ref name=Rall1998>'''Rall, W., Agmon-Snir, H. (1998)'''.<br>Cable theory for dendritic neurons. In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 27-92.</ref>。この方程式は[[ケーブル方程式]]と呼ばれる。右辺第2項はケーブルの軸方向に沿った膜電位勾配により生じる電流の寄与を表す。この方程式は[[偏微分方程式]]の形をとり、一般に解を得ることが難しい。膜電流として、リーク電流のみの受動的な[[膜特性]]を示す場合、上記の方程式は、 | ||
::<math> | ::<math> | ||
C_m\frac{\partial{V}(x,t)}{\partial{t}}=-g_L(V-E_L)+\frac{\partial^2V(x,t)}{\partial{x^2}}+I_{app} | C_m\frac{\partial{V}(x,t)}{\partial{t}}=-g_L(V-E_L)+\frac{\partial^2V(x,t)}{\partial{x^2}}+I_{app} | ||
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</math> | </math> | ||
と表せる<ref name=Segev1998>'''Segev, I., Burke, R.E. (1998)'''<br>Compartmental Models of Complex Neurons. In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 93-136.</ref>。ここで<math>g_{k,k+1}</math>、<math>g_{k,k-1}</math>はそれぞれ隣接する区画<math>k+1</math>、および、区画<math>k-1</math> | と表せる<ref name=Segev1998>'''Segev, I., Burke, R.E. (1998)'''<br>Compartmental Models of Complex Neurons. In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 93-136.</ref>。ここで<math>g_{k,k+1}</math>、<math>g_{k,k-1}</math>はそれぞれ隣接する区画<math>k+1</math>、および、区画<math>k-1</math>との間の伝導度を表す。各区画を小さく取ることにより、連続体に近い結果が得られる一方、計算コストは増大する。各区画を大きく取れば、計算コストは削減できるが、粗視化による誤差の増大を招くという、トレードオフが生じる。細胞全体を１つの膜電位で表す場合は、区画が1つになるので、[[シングルコンパートメントモデル]]と呼ばれることがある。扱う問題により、シングルコンパートメントかマルチコンパートメントか、マルチコンパートメントであれば、どの程度の分割でモデル化するか、が異なる。一般的に、単一細胞における情報処理を問題とする場合には、マルチコンパートメントモデル、ネットワークを扱う場合には、シングルコンパートメントモデルを用いることが多い。 | ||
[[シナプス前]]細胞から[[シナプス後|後]]細胞への信号伝達はシナプス電流によりもたらされる。シナプス電流は、他のイオン電流と同様に、<math>I_{syn}= (V-E_{syn})</math>として表される。<math>g_s(t)</math>はシナプス電流の伝導度、<math>V</math>は後細胞の膜電位、<math>E_{syn}</math>は平衡電位である。<math>g_s(t)</math>は、前細胞の膜電位に依存して変化し、そのモデルとしては次の2つが代表的である。 | |||
===Kineticsモデル（2状態モデル）=== | ===Kineticsモデル（2状態モデル）=== | ||
後細胞側のシナプスのイオンチャネルの状態をHodgkin-Huxleyモデルのゲート変数と同様に開状態と閉状態の2状態間の遷移としてモデル化している<ref name=Destexhe1998>'''Destexhe, A., Mainen, Z.F., Sejnowski, T. (1998).'''<br>Kinetic models of synaptic transmission." In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1-25.</ref> | 後細胞側のシナプスのイオンチャネルの状態をHodgkin-Huxleyモデルのゲート変数と同様に開状態と閉状態の2状態間の遷移としてモデル化している<ref name=Destexhe1998>'''Destexhe, A., Mainen, Z.F., Sejnowski, T. (1998).'''<br>Kinetic models of synaptic transmission." In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1-25.</ref>。[[膜電位依存型イオンチャネル]]との違いは、開→閉の遷移割合は定数、閉→開の遷移割合は[[神経伝達物質]]の濃度に依存する点である。 | ||
===短期可塑性モデル（3状態モデル）=== | ===短期可塑性モデル（3状態モデル）=== | ||
前細胞側の過程である神経伝達物質の状態が、3つの状態（i）回復状態（伝達物質が前終末内にあり、放出が可能な状態）、(ii)結合状態（伝達物質が後終末の受容体に結合して活性化させている状態）、(iii)不応状態（受容体から離れ、前終末に回収される過程の途中にある状態）を遷移するモデルである<ref name=Tsodyks1997><pubmed>9012851</pubmed></ref><ref name=Varela1997><pubmed>9315911</pubmed></ref>。神経伝達物質の放出確率と前細胞の発火パターンにより、[[短期抑制]]や[[短期増強]]を再現することができる。 | |||
==縮約モデル== | ==縮約モデル== | ||
Hodgkin- | Hodgkin-Huxleyモデルのように神経興奮現象を数理モデル化するには多数の変数の導入が必要となる。神経興奮現象のダイナミクスを[[位相空間]]における分岐現象の観点から理解し、変数の削減とダイナミクスの本質の理解を目的としてモデルが提案されてきた。 | ||
* FitzHugh-Nagumoモデル<ref name=Fitzhugh1961><pubmed>19431309</pubmed></ref> | * [[FitzHugh-Nagumoモデル]]<ref name=Fitzhugh1961><pubmed>19431309</pubmed></ref> | ||
* Morris-Lecarモデル<ref name=Morris1981><pubmed>7260316</pubmed></ref> | * [[Morris-Lecarモデル]]<ref name=Morris1981><pubmed>7260316</pubmed></ref> | ||
* Hindmarsh-Roseモデル<ref name=Hindmarsh1984><pubmed>6144106</pubmed></ref> | * [[Hindmarsh-Roseモデル]]<ref name=Hindmarsh1984><pubmed>6144106</pubmed></ref> | ||
==確率的スパイクモデル== | ==確率的スパイクモデル== | ||
実際のニューロンの発火活動は、同じ統制条件下でも、全ての試行において同じタイミングでスパイクが発生することはなく、試行ごとにばらつきがあり、確率的な性質が見て取れる。この確率的な挙動は、そのニューロンへの入力が確率的であることに加え、スパイク生成過程自体が確率的である可能性がある。上に紹介したモデルは、決定論的なスパイク生成のモデルとなっており、確率的な挙動の再現は難しい。実験データに見られるような確率的なスパイク活動を再現するモデルが提案されている。 | 実際のニューロンの発火活動は、同じ統制条件下でも、全ての試行において同じタイミングでスパイクが発生することはなく、試行ごとにばらつきがあり、確率的な性質が見て取れる。この確率的な挙動は、そのニューロンへの入力が確率的であることに加え、スパイク生成過程自体が確率的である可能性がある。上に紹介したモデルは、決定論的なスパイク生成のモデルとなっており、確率的な挙動の再現は難しい。実験データに見られるような確率的なスパイク活動を再現するモデルが提案されている。 | ||
スパイク生成の確率性をモデル化するので、スパイク生成機構そのもの（Naチャネルと遅延整流型Kチャネル）はモデル化の対象とはせず、閾値以下の範囲の過程を記述する。この場合、直前のスパイクが発生した時刻を<math>0</math>とした場合の時刻<math>t</math>における膜電位は、[[spike response model]]と呼ばれる次の形に書ける<ref name=Gerstner2014>'''Gerstner, W., Kistler, W.M., Naud, R., Paninski, L. (2014)'''<br>Neuronal Coding. Cambridge University Press, Cambridge, UK.</ref>（[[積分発火モデル]]参照）。 | |||
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V(t)=V_{rest}+\eta(t)+\int_0^tK(\tau)I(t-\tau)d\tau | V(t)=V_{rest}+\eta(t)+\int_0^tK(\tau)I(t-\tau)d\tau | ||
</math><br><br> | </math><br><br> | ||
<math>V_{rest}</math>は静止膜電位、<math>\eta(t)</math>はスパイク発生直後に生じる膜電流による効果（自分自身の発火による影響）、<math>K(t)</math>は入力電流の膜電位に対する効果（自分以外からの入力による影響）を表す。Spike response | <math>V_{rest}</math>は静止膜電位、<math>\eta(t)</math>はスパイク発生直後に生じる膜電流による効果（自分自身の発火による影響）、<math>K(t)</math>は入力電流の膜電位に対する効果（自分以外からの入力による影響）を表す。Spike response modelは積分発火モデルの拡張であり、[[決定論的モデル]]の１つに分類されるが、これを用いて[[確率的モデル]]として拡張できる。この膜電位を用い、瞬時発火率<br><br> | ||
::<math> | ::<math> | ||
r(t)=f(V(t)-\theta{(t)}) | r(t)=f(V(t)-\theta{(t)}) | ||
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R(t,\Delta{t})=r{t}\delta{t}=f(V(t)-\theta{(t)}) | R(t,\Delta{t})=r{t}\delta{t}=f(V(t)-\theta{(t)}) | ||
</math><br><br> | </math><br><br> | ||
によりスパイクを確率的に生成する<ref name=Gerstner2008>'''Gerstner, W. (2008)'''<br>Spike-response model" Scholarpedia, 3, 1343 ( http://www.scholarpedia.org/article/Spike-response_model).</ref>。関数<math>f(x)</math>はescape | によりスパイクを確率的に生成する<ref name=Gerstner2008>'''Gerstner, W. (2008)'''<br>Spike-response model" Scholarpedia, 3, 1343 ( http://www.scholarpedia.org/article/Spike-response_model).</ref>。関数<math>f(x)</math>はescape rateと呼ばれ、[[指数関数]]や[[正規化線形関数]]が用いられることが多い<ref name=Gerstner2014 />。 | ||
==発火率モデル== | ==発火率モデル== | ||
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</math> | </math> | ||
という形に表せる（[[神経応答関数]]と呼ばれる）。<math>\delta{(t)}</math>は[[デルタ関数]]、<math>t_{spk}</math>は活動電位が発生した時刻を表す。この試行平均をとると、その条件下における時間に依存した瞬時発火率 <math>r(t) = < \rho (t) ></math>を得る。あるニューロンの出力の発火率を<math>v(t)</math>、そのニューロンへの入力<math>I(t)</math>とすると、 | |||
::<math> | ::<math> | ||
\tau_r\frac{dv}{dt}=-v+F(I(t)-\theta) | \tau_r\frac{dv}{dt}=-v+F(I(t)-\theta) | ||
</math> | </math> | ||
と表せるとする。<math>\ | と表せるとする。<math>\tau_r</math>は時定数、<math>F(x)</math>は活性化関数、<math>\theta</math>は閾値である。通常、<math>I(t)</math>が<math>\theta</math>より小さい場合は、出力は<math>0</math>とする。この活性化関数は、入力を注入電流として一定値にした場合に、入力（一定の注入電流）と出力（発火率）の関係を表す<math>f-I</math>カーブに対応する。 | ||
このニューロンへ入力を送るシナプス前細胞の発火率を<math>u_n(t)</math>、それらからのシナプス結合を<math>w_n</math>とする<math>(n = 1, 2, \dots, N)</math>。シナプス後電流による効果を<math>K_s(t) = exp[-t/{\tau_s}]</math> <math>(t\ge 0)</math>とすると、 | このニューロンへ入力を送るシナプス前細胞の発火率を<math>u_n(t)</math>、それらからのシナプス結合を<math>w_n</math>とする<math>(n = 1, 2, \dots, N)</math>。シナプス後電流による効果を<math>K_s(t) = exp[-t/{\tau_s}]</math> <math>(t\ge 0)</math>とすると、 | ||