「Hodgkin-Huxley方程式」の版間の差分

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Hodgkin-Huxley Equations  
Hodgkin-Huxley Equations  


== 概略 ==
== 概略 ==


Alan Lloyd Hodgkin (1914--1998)とAndrew Fielding Huxley (1917- )は、ともにイギリスの電気生理学者である。イカの巨大軸索における活動電位の発生と伝搬を測定し、その解析から現在の電気生理学の基礎となる概念を生み出し、また興奮性細胞(神経細胞、心筋、骨格筋)の電気活動を定量的に扱う道を開いた。HodgkinとHuxleyは、電気生理学の基礎を築いた功績により、同じく電気生理学者のJohn Carew Ecclesとともに、1963年のノーベル医学・生理学賞を受賞している。
Alan Lloyd Hodgkin (1914--1998)とAndrew Fielding Huxley (1917- )は、ともにイギリスの電気生理学者である。イカの巨大軸索における活動電位の発生と伝搬を測定し、その解析から現在の電気生理学の基礎となる概念を生み出し、また興奮性細胞(神経細胞、心筋、骨格筋)の電気活動を定量的に扱う道を開いた。HodgkinとHuxleyは、電気生理学の基礎を築いた功績により、同じく電気生理学者のJohn Carew Ecclesとともに、1963年のノーベル医学・生理学賞を受賞している。  


HodgkinとHuxleyの業績の意義は次のように要約できる。  
HodgkinとHuxleyの業績の意義は次のように要約できる。  
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#Na<sup>+</sup>チャネル、K<sup>+</sup>チャネルおよびleakチャネルを示す数式を組み合わせ、活動電位の発生・伝播を数値的に再現した。現在行われている興奮性細胞の電位シミュレーションは、要素が増えるなどして複雑になっているが基本は変わらない。
#Na<sup>+</sup>チャネル、K<sup>+</sup>チャネルおよびleakチャネルを示す数式を組み合わせ、活動電位の発生・伝播を数値的に再現した。現在行われている興奮性細胞の電位シミュレーションは、要素が増えるなどして複雑になっているが基本は変わらない。


== <math>\textstyle m^3 h</math>と<math>\textstyle n^4</math> ==
== <math>\textstyle m^3 h</math>と<math>\textstyle n^4</math> ==


== 電位変化 ==
== 電位変化 ==


== Two-state model: 基礎的な考え方* ==
== Two-state model: 基礎的な考え方* ==


2つの状態1と2をとる事の出来る系を考え、それぞれの状態にある確率を<math>\textstyle p1</math>と<math>\textstyle p2</math> とする。<math>\textstyle p1</math>と<math>\textstyle p2</math>は時刻<math>\textstyle t</math>の関数であり、<math>\textstyle p1(t)</math>と<math>\textstyle p2(t)</math>と表わされる。<math>\textstyle p1(t)</math>と<math>\textstyle p2(t)</math>は確率であるから、  
2つの状態1と2をとる事の出来る系を考え、それぞれの状態にある確率を<math>\textstyle p1</math>と<math>\textstyle p2</math> とする。<math>\textstyle p1</math>と<math>\textstyle p2</math>は時刻<math>\textstyle t</math>の関数であり、<math>\textstyle p1(t)</math>と<math>\textstyle p2(t)</math>と表わされる。<math>\textstyle p1(t)</math>と<math>\textstyle p2(t)</math>は確率であるから、  
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::<span class="texhtml">''p''1(''t'') + ''p''2(''t'') = 1</span>
::<span class="texhtml">''p''1(''t'') + ''p''2(''t'') = 1</span>


の関係にある。いま状態1から状態2へ移っていく単位時間での割合(遷移率)を&alpha;とし、状態2から状態1への遷移率を&beta;とする。 <math>\textstyle p1(t)</math>と<math>\textstyle p2(t)</math>の時間的経過を表わす微分方程式は、  
の関係にある。いま状態1から状態2へ移っていく単位時間での割合(遷移率)をαとし、状態2から状態1への遷移率をβとする。 <math>\textstyle p1(t)</math>と<math>\textstyle p2(t)</math>の時間的経過を表わす微分方程式は、  


::<math> \frac{dp1(t)}{dt} = -\alpha p1(t) + \beta p2(t)</math>
::<math> \frac{dp1(t)}{dt} = -\alpha p1(t) + \beta p2(t)</math>
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::<math> \frac{dp2(t)}{dt} = \alpha p1(t) - \beta p2(t)</math>
::<math> \frac{dp2(t)}{dt} = \alpha p1(t) - \beta p2(t)</math>


と表される。&alpha;と&beta;が定数であるとして、定常状態になれば、
と表される。αとβが定数であるとして、定常状態になれば、


::<math> \frac{dp1(\infty)}{dt} = -\alpha p1(\infty) + \beta p2(\infty) = 0</math>
::<math> \frac{dp1(\infty)}{dt} = -\alpha p1(\infty) + \beta p2(\infty) = 0</math>
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::<math> \frac{dp2(t)}{dt} = \alpha p1(\infty) - \beta p2(\infty) = 0</math>
::<math> \frac{dp2(t)}{dt} = \alpha p1(\infty) - \beta p2(\infty) = 0</math>


ここで、
ここで、  


::<math>\textstyle p1(\infty) + p2(\infty) = 1</math>  
::<math>\textstyle p1(\infty) + p2(\infty) = 1</math>


であるから、  
であるから、  


::<math>p1(\infty) = \frac{\beta}{\alpha+\beta}</math>
::<math>p1(\infty) = \frac{\beta}{\alpha+\beta}</math>  
::<math>p2(\infty) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}</math>
::<math>p2(\infty) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}</math>


となる。また微分方程式を解析的に解くと、  
となる。また微分方程式を解析的に解くと、  


::<math>p1(t) = \left(p1(0)-\frac{\beta}{\alpha+\beta}\right) e^{-(\alpha+\beta)t} + \frac{\beta}{\alpha+\beta} </math>
::<math>p1(t) = \left(p1(0)-\frac{\beta}{\alpha+\beta}\right) e^{-(\alpha+\beta)t} + \frac{\beta}{\alpha+\beta} </math>  
::<math>p2(t) = \left(p2(0)-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right) e^{-(\alpha+\beta)t} + \frac{\alpha}{\alpha+\beta} </math>
::<math>p2(t) = \left(p2(0)-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right) e^{-(\alpha+\beta)t} + \frac{\alpha}{\alpha+\beta} </math>


となる。これらの式は、<math>\textstyle p1(t)</math>と<math>\textstyle p2(t)</math>はそれぞれ指数関数的に<math>\textstyle p1(\infty)</math>と<math>\textstyle p2(\infty)</math>に近づいていき、その時定数<math>\textstyle \tau</math>は<math>\textstyle 1/(\alpha+\beta)</math>であること、およびこれらの値<math>\textstyle p1(\infty)</math>、<math>\textstyle p2(\infty)</math>、<math>\textstyle \tau</math>は、初期値<math>\textstyle p1(0)</math>、<math>\textstyle p2(0)</math>には依存しないことを示している。さらに、<br>
となる。これらの式は、<math>\textstyle p1(t)</math>と<math>\textstyle p2(t)</math>はそれぞれ指数関数的に<math>\textstyle p1(\infty)</math>と<math>\textstyle p2(\infty)</math>に近づいていき、その時定数<math>\textstyle \tau</math>は<math>\textstyle 1/(\alpha+\beta)</math>であること、およびこれらの値<math>\textstyle p1(\infty)</math>、<math>\textstyle p2(\infty)</math>、<math>\textstyle \tau</math>は、初期値<math>\textstyle p1(0)</math>、<math>\textstyle p2(0)</math>には依存しないことを示している。さらに、<br>  


::<math>q1(t) = p1(t) - \frac{\beta}{\alpha+\beta} </math>
::<math>q1(t) = p1(t) - \frac{\beta}{\alpha+\beta} </math>  
::<math>q2(t) = p2(t) - \frac{\alpha}{\alpha+\beta} </math>
::<math>q2(t) = p2(t) - \frac{\alpha}{\alpha+\beta} </math>
とすると、  
とすると、  
::<span class="texhtml">''q''1(''t'') = ''q''1(0)''e''<sup> − (&alpha; + &beta;)''t''</sup></span>
::<span class="texhtml">''q''1(''t'') = ''q''1(0)''e''<sup> − (α + β)''t''</sup></span>  
::<span class="texhtml">''q''2(''t'') = ''q''2(0)''e''<sup> − (&alpha; + &beta;)''t''</sup></span>
::<span class="texhtml">''q''2(''t'') = ''q''2(0)''e''<sup> − (α + β)''t''</sup></span>
 
とより単純な形式となる。この関係は微分方程式の数値計算でよく用いられる。  
とより単純な形式となる。この関係は微分方程式の数値計算でよく用いられる。  


== 電位固定法: 基礎となった技術* ==
== 電位固定法: 基礎となった技術* ==
 
Hodgkin-Huxley以前に、電気生理学の実験が行われていなかったわけではない。電流と電位変化に関する研究は、かなり多く行われていた。しかしながら、細胞にはいろいろなイオンチャネルを通して電流が流れるため、細胞の電位''v''と外部から流す電流''I''<sub>ext</sub>の間の関係は、  
Hodgkin-Huxley以前に、電気生理学の実験が行われていなかったわけではない。電流と電位変化に関する研究は、かなり多く行われていた。しかしながら、細胞にはいろいろなイオンチャネルを通して電流が流れるため、細胞の電位''v''と外部から流す電流''I''<sub>ext</sub>の間の関係は、  
::<math>\frac{dv}{dt} = -\frac{1}{C}\left(\sum_X G_{X}(v-E_X) - I_{ext}\right)</math>
::<math>\frac{dv}{dt} = -\frac{1}{C}\left(\sum_X G_{X}(v-E_X) - I_{ext}\right)</math>
となり、実験データの解釈は単純ではない。電位をコントロールして行う実験方法であるvoltage clamp(電位固定法)は、1940年代にアメリカの生物物理学者Kenneth Cole (1900 - 1984)らにより開発された。HodgkinとHuxleyはこのvoltage-clampを巧みに利用して大きな成果を得る事が出来たと言える。上記の式で<math>\textstyle v</math>が一定となるように外部電流を''I''<sub>clamp</sub>を流すと、左辺は0となるため、  
となり、実験データの解釈は単純ではない。電位をコントロールして行う実験方法であるvoltage clamp(電位固定法)は、1940年代にアメリカの生物物理学者Kenneth Cole (1900 - 1984)らにより開発された。HodgkinとHuxleyはこのvoltage-clampを巧みに利用して大きな成果を得る事が出来たと言える。上記の式で<math>\textstyle v</math>が一定となるように外部電流を''I''<sub>clamp</sub>を流すと、左辺は0となるため、  
::<math> I_{clamp} = \sum G_X (v - E_x) </math>


::<math> I_{clamp} = \sum_{X} G_X (v - E_X) </math>
という関係が得られる。もし溶液の組成を工夫しチャネルのブロッカーなどを用いて、イオンチャネル''A''を流れる電流が測れたとすると、  
 
という関係が得られる。もし溶液の組成を工夫しチャネルのブロッカーなどを用いて、イオンチャネル<math>\textstyle A</math>を流れる電流が測れたとすると、  


::<math>I_{clamp} = G_A (v − E_A)</math>
::<span class="texhtml">''I''<sub>clamp</sub> = ''G''<sub>''A''</sub>(''v''-''E''<sub>''A''</sub>)</b></span>


となる。ここで''I''<sub>clamp</sub>は実験の測定値、''v''は実験の設定値、''E''<sub>A</sub>は実験条件で定まる定数なので、イオンチャネル''A''のコンダクタンス''G''<sub>A</sub>を、  
となる。ここで''I''<sub>clamp</sub>は実験の測定値、''v''は実験の設定値、''E''<sub>A</sub>は実験条件で定まる定数なので、イオンチャネル''A''のコンダクタンス''G''<sub>A</sub>を、  
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と算出できることになる。  
と算出できることになる。  


== HHモデルに対する批判 ==
== HHモデルに対する批判 ==


Single-channel recording  
Single-channel recording  
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Fractalモデルとの論争  
Fractalモデルとの論争  


== 現在におけるHHモデル ==
== 現在におけるHHモデル ==


== References ==
== References ==


<references />
<references />
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