「ニューロンモデル」の版間の差分

 

立命館大学 情報理工学部

　ニューロンの細胞膜の電気的特性については、電気生理学実験により明らかにされ、膜電位Vの時間変化は、細胞膜の電気容量をCm、細胞膜を透過する膜電流をIm、外部からの注入電流をIappとすると<br>

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　膜電流としてリーク電流のみを取り入れ、活動電位の生成機構はモデル化せず、閾値到達時に活動電位発生の処理と膜電位のリセットを行う<ref name=Lapicque1907> '''Lapicque, L. (1907).'''<br>Recherches quantitatives sur l'excitation électrique des nerfs traitée comme une polarization." Journal de physiologie et de pathologie générale, 9, 620-635. </ref><ref name=Lapicque2007><pubmed>18046573</pubmed></ref>[1,2]。''詳細は[[積分発火モデル]]の項目参照。''

　HodgkinとHuxleyにより、ヤリイカの巨大軸索を用いた神経興奮現象の計測とその計測データのモデル化により提案された<ref name=Hodgkin1952><pubmed>12991237</pubmed></ref>[3]。膜電流としてリーク電流に加え、Naチャンネルと遅延整流型Kチャネルを取り入れる。後者2つは活動電位生成機構を担う。''詳細は[[Hodgkin-Huxley方程式]]の項目参照。''

　Hodgkin-HuxleyモデルにおけるNaチャネルや遅延整流型Kチャネルの動力学にならい、他のイオンチャネルも同様のモデル化を行うことで、細胞膜上に発現した多様なイオンチャネルをモデル化することができる。この場合、膜電流は

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のように書ける。gk(t)は、k種類目のイオンチャネルのコンダクタンス（抵抗の逆数）を表し、Ekは、そのイオンチャネルが透過させるイオンの平衡電位を表す。コンダクタンスはHodgkin-Huxleyの定式化にならい、一般に

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の形に表せる<ref name=Hille2001>'''Hille, B. (2001).'''Ion channels of excitable membranes (3rd Edition). Sinauer, Sunderland, Massachusetts.</ref>[4]。mは活性化ゲート変数、hは不活性化ゲート変数である。イオンチャネルによっては、どちらか一方しか持たないものもある。

イオンチャネルの活性化・不活性化が細胞内カルシウムイオン濃度に依存するものがあれば、膜電位、各種イオンチャネルのゲート変数の動力学に加え、細胞内カルシウムイオン濃度の動力学のモデルも必要となる。細胞内カルシウムイオン濃度[Ca2+]の最も簡易なモデルは、

となる<ref name=DeSchutter1998>'''De Schutter, E., Smolen, P. (1998)'''<br>Calcium dynamics in large neuronal models. In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 211-250.</ref>[5]。αは電流から濃度への変換を表す定数、ICaはカルシウムイオン電流、τCaはカルシウムイオン濃度の減少に関する時定数を表す。

　ニューロンは、樹状突起や軸索の突起を有する空間的に広がった形態が特徴である。一般的には、同じ細胞でも部位毎に膜電位が異なっていると考えられる。上記のモデルは、1つの細胞に対し、膜電位は部位に寄らず一様である（等電位; isopotential）という仮定に基づいている。ニューロンの形態的特徴をモデル化するには、膜電位が時間tだけでなく部位xの関数として扱う必要がある。

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のように表せる<ref name=Rall1998>'''Rall, W., Agmon-Snir, H. (1998)'''.<br>Cable theory for dendritic neurons. In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 27-92.</ref>[6]。この方程式はケーブル方程式と呼ばれる。右辺第２項はケーブルの軸方向に沿った膜電位勾配により生じる電流の寄与を表す。この方程式は偏微分方程式の形をとり、一般に解を得ることが難しい。膜電流として、リーク電流のみの受動的な膜特性を示す場合、上記の方程式は、

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C_m\frac{dV_k}{dt}=-I_m^k+I_{app}^k+g_{k,k+1}(V_{K+1}-V_K)+g_{k,k-1}(V_{K-1}-V_K)

と表せる<ref name=Segev1998>'''Segev, I., Burke, R.E. (1998)'''<br>Compartmental Models of Complex Neurons. In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 93-136.</ref>[7]。ここでgk,k+1、gk,k-1はそれぞれ隣接する区画k+1、および、区画k-1との間の伝導度を表す。各区画を小さく取ることにより、連続体に近い結果が得られる一方、計算コストは増大する。各区画を大きく取れば、計算コストは削減できるが、粗視化による誤差の増大を招くという、トレードオフが生じる。細胞全体を１つの膜電位で表す場合は、区画が１つになるので、シングルコンパートメントモデルと呼ばれることがある。扱う問題により、シングルコンパートメントかマルチコンパートメントか、マルチコンパートメントであれば、どの程度の分割でモデル化するか、が異なる。一般的に、単一細胞における情報処理を問題とする場合には、マルチコンパートメントモデル、ネットワークを扱う場合には、シングルコンパートメントモデルを用いることが多い。

　シナプス前細胞から後細胞への信号伝達はシナプス電流によりもたらされる。シナプス電流は、他のイオン電流と同様に、Isyn = gs(t)(V – Esyn)として表される。gs(t)はシナプス電流の伝導度、Vは後細胞の膜電位、Esynは平衡電位である。gs(t)は、前細胞の膜電位に依存して変化し、そのモデルとしては次の2つが代表的である。

　後細胞側のシナプスのイオンチャネルの状態をHodgkin-Huxleyモデルのゲート変数と同様に開状態と閉状態の2状態間の遷移としてモデル化している<ref name=Destexhe1998>'''Destexhe, A., Mainen, Z.F., Sejnowski, T. (1998).'''<br>Kinetic models of synaptic transmission." In: Koch, C., Segev, I. (Eds.), Methods in Neural Modeling, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1-25.</ref>[8]。膜電位依存型イオンチャネルとの違いは、開→閉の遷移割合は定数、閉→開の遷移割合は神経伝達物質の濃度に依存する点である。

　前細胞側の過程である神経伝達物質の状態が、３つの状態（i）回復状態（伝達物質が前終末内にあり、放出が可能な状態）、(ii)結合状態（伝達物質が後終末の受容体に結合して活性化させている状態）、(iii)不応状態（受容体から離れ、前終末に回収される過程の途中にある状態）を遷移するモデルである<ref name=Tsodyks1997><pubmed>9012851</pubmed></ref> <ref name=Varela1997><pubmed>9315911</pubmed></ref>[9,10]。神経伝達物質の放出確率と前細胞の発火パターンにより、短期抑制や短期増強を再現することができる。

　Hodgkin-Huxleyモデルのように神経興奮現象を数理モデル化するには多数の変数の導入が必要となる。神経興奮現象のダイナミクスを位相空間における分岐現象の観点から理解し、変数の削減とダイナミクスの本質の理解を目的としてモデルが提案されてきた。

* FitzHugh-Nagumoモデル<ref name=Fitzhugh1961><pubmed>19431309</pubmed></ref>[11]

* Morris-Lecarモデル<ref name=Morris1981><pubmed>7260316</pubmed></ref>[12]

* Hindmarsh-Roseモデル<ref name=Hindmarsh1984><pubmed>6144106</pubmed></ref>[13]

　スパイク生成の確率性をモデル化するので、スパイク生成機構そのもの（Na チャネルと遅延整流型Kチャネル）はモデル化の対象とはせず、閾値以下の範囲の過程を記述する。この場合、直前のスパイクが発生した時刻を0とした場合の時刻tにおける膜電位は、spike response modelと呼ばれる次の形にかける<ref name=Gerstner2014>'''Gerstner, W., Kistler, W.M., Naud, R., Paninski, L. (2014)'''<br>Neuronal Coding. Cambridge University Press, Cambridge, UK.</ref>[14]（積分発火モデル参照）。

 

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Vrestは静止膜電位、η(t)はスパイク発生直後に生じる膜電流による効果（自分自身の発火による影響）、K(t)は入力電流の膜電位に対する効果（自分以外からの入力による影響）を表す。spike response modelは積分発火モデルの拡張であり、決定論的モデルの１つに分類されるが、これを用いて確率的モデルとして拡張できる。この膜電位を用い、瞬時発火率

 

を定める。θ(t)はスパイク閾値を表し、一般的に時間に依存するとしている。時間tからt+Δtにおけるスパイク発生確率をP(t, Δt)とすると

 

によりスパイクを確率的に生成する<ref name=Gerstner2008>'''Gerstner, W. (2008)'''<br>Spike-response model" Scholarpedia, 3, 1343 ( http://www.scholarpedia.org/article/Spike-response_model).</ref>[15]。関数f(x)はescape rateと呼ばれ、指数関数や正規化線形関数が用いられることが多い<ref name=Gerstner2014 /> [14]。

という形に表せる（神経応答関数と呼ばれる）。δ(t)はデルタ関数、tspkは活動電位が発生した時刻を表す。この試行平均をとると、その条件下における時間に依存した瞬時発火率 r(t) = < ρ(t) > を得る。あるニューロンの出力の発火率をv(t)、そのニューロンへの入力I(t)とすると、

と表せるとする。τrは時定数、F(x)は活性化関数、θは閾値である。通常、I(t)がθより小さい場合は、出力は0とする。この活性化関数は、入力を注入電流として一定値にした場合に、入力（一定の注入電流）と出力（発火率）の関係を表すf-Iカーブに対応する。

このニューロンへ入力を送るシナプス前細胞の発火率をun(t)、それらからのシナプス結合をwnとする（n = 1, 2, …, N）。シナプス後電流による効果をKs(t) = exp[–t/τs](t ≥ 0)とすると、

を得る。このように、発火率vと入力Iのダイナミクスにより表される。この２つのダイナミクスのうち、より速いダイナミクスの方（時定数が小さい方）は定常状態へ緩和すると考える。一般に、発火率の変動に比べてシナプス電流の効果の方が減衰は速いと考えると、Iは定常状態I = w·uをとり、発火率のダイナミクスのみとなる。