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Hodgkin-Huxley方程式 (ソースを閲覧)

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Keijiimoto

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 == Two-state model: 基礎的な考え方*  ==
-状態が2つの系(例えばOpenとClosed)で、他の状態に移る率が一定の場合、次の性質がある。<br>
+OpenとClosedの2つの状態がある系で、他の状態に移る率が一定の場合、次の性質がある。<br>
 *指数関数的に変化する
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 ----
-つの状態1と2をとる事の出来る系を考え、それぞれの状態にある確率を''p''<sub>1</sub>と''p''<sub>2</sub>とする。''p''<sub>1</sub>と''p''<sub>2</sub>は時刻''t''の関数であり、''p''<sub>1</sub>(''t'')と''p''2(''t'')と表わすとする。''p''<sub>1</sub>(''t'')と''p''<sub>2</sub>(''t'')は確率であるから、
+OpenとClosedの2つの状態がある系を考え、Openの状態にある確率を''p''とする。Closedの状態にある確立は,
+-''p''となる。''p''は時刻''t''の関数であり、''p''(''t'')とと表わすとする。
-::<math>p1(t) + p2(t) = 1\, </math>
+いま状態Closedから状態Openへ移っていく単位時間での割合(遷移率)をαとし、状態Openから状態Closedへの遷移率をβとする。 ''p''(''t'')の時間的経過を表わす微分方程式は、
-<br> の関係が常に成り立つ。いま状態1から状態2へ移っていく単位時間での割合(遷移率)をαとし、状態2から状態1への遷移率をβとする。 ''p''<sub>1</sub>(''t'')と''p''<sub>2</sub>(''t'')の時間的経過を表わす微分方程式は、
+::<math> \frac{dp(t)}{dt} = \alpha (1-p(t)) - \beta p(t)\, </math>
-::<math> \frac{dp_1(t)}{dt} = -\alpha p_1(t) + \beta p_2(t)</math>
-::<math> \frac{dp_2(t)}{dt} = \alpha p_1(t) - \beta p_2(t)</math>
 と表される。αとβが定数であるとして、定常状態になれば、
-::<math> \frac{dp_1(\infty)}{dt} = -\alpha p_1(\infty) + \beta p_2(\infty) = 0\, </math>
+::<math> \frac{dp(\infty)}{dt} = \alpha (1-p(\infty)) - \beta p(\infty) = 0\, </math>
-::<math> \frac{dp_2(\infty)}{dt} = \alpha p_1(\infty) - \beta p_2(\infty) = 0\, </math>
-ここで、
-::<math>p_1(\infty) + p_2(\infty) = 1\, </math>
 であるから、
-::<math>p_1(\infty) = \frac{\beta}{\alpha+\beta}\, </math>
+::<math>p(\infty) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\, </math>
-::<math>p_2(\infty) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\, </math>
 となる。また微分方程式は解析的に解けて、
-::<math>p_1(t) = \left(p_1(0)-\frac{\beta}{\alpha+\beta}\right) e^{-(\alpha+\beta)t} + \frac{\beta}{\alpha+\beta}\, </math>
+::<math>p(t) = \left(p(0)-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right) e^{-(\alpha+\beta)t} + \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\, </math>
-::<math>p_2(t) = \left(p_2(0)-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right) e^{-(\alpha+\beta)t} + \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\, </math>
 となる。 これらの式は次のことを示している。
-*''p''<sub>1</sub>(''t'')と''p''<sub>2</sub>(''t'')はそれぞれ指数関数的に''p''<sub>1</sub>(∞)と''p''<sub>2</sub>(∞)に近づいていく
+*''p''(''t'')はそれぞれ指数関数的に''p''(∞)に近づいていく
 *その時定数(time constant)τは1/(α+β)である
-*これらの値''p''<sub>1</sub>(∞)、''p''<sub>2</sub>(∞)、τは、初期値''p''<sub>1</sub>(0)、''p''<sub>2</sub>(0)に依存しない。
+*これらの値''p''、τは、初期値''p''(0)に依存しない。
 さらに、
-::<math>q_1(t) = p_1(t) - \frac{\beta}{\alpha+\beta}\, </math>
+::<math>q(t) = p(t) - \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,  </math>
-::<math>q_2(t) = p_2(t) - \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,  </math>
 と表すとすると、
-::<math> q_1(t) = q_1(0)e^{-(\alpha + \beta)}\, </math>
+::<math> q(t) = q(0)e^{-(\alpha + \beta)}\, </math>
-::<math> q_2(t) = q_2(0)e^{-(\alpha + \beta)}\, </math>
 とより単純な形式となる。この関係は微分方程式の数値計算でよく用いられる。