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== ミカエリス・メンテンの式 == | == ミカエリス・メンテンの式 == | ||
[[wikipedia:Leonor Michaelis|L. Michaelis]] と[[wikipedia:Maud Menten|M. L. Menten]]は[[wikipedia:ja:インベルターゼ|インベルターゼ]]に関する研究において、[[wikipedia:ja:酵素|酵素]]の反応速度と[[wikipedia:ja:基質|基質]]濃度の関係を明らかにするため、酵素と基質が結合した酵素基質複合体（ES complex）を形成することにより酵素反応が進行するとの概念に基づいて、次のような反応スキームを考えた。 | |||
<math> E + S \overset{k_1}{\underset{k_2}{\rightleftarrows}} ES \xrightarrow{k_3} E + P</math> (1) | <math> E + S \overset{k_1}{\underset{k_2}{\rightleftarrows}} ES \xrightarrow{k_3} E + P</math> (1) | ||
ここにEは酵素、Sは基質、Pは生成物を表す。この時、<span class="texhtml">''k''<sub>1</sub>,''k''<sub>2</sub></span>は<span class="texhtml">''k''<sub>3</sub></span>に比べて十分に大きく、ES, E, | ここにEは酵素、Sは基質、Pは生成物を表す。この時、<span class="texhtml">''k''<sub>1</sub>,''k''<sub>2</sub></span>は<span class="texhtml">''k''<sub>3</sub></span>に比べて十分に大きく、ES, E, Sは[[wikipedia:ja:平衡状態|平衡状態]]にあって、<span class="texhtml">''k''<sub>3</sub></span>を速度定数とする過程が全体の酵素反応の律速段階であると仮定すれば、ES complexの解離平衡定数<span class="texhtml">''K''<sub>''d''</sub></span>は | ||
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<math>v = k_3[ES] = \frac{V_{max}[S]}{K_m +[S]}</math> (7) | <math>v = k_3[ES] = \frac{V_{max}[S]}{K_m +[S]}</math> (7) | ||
この(7)式をミカエリス・メンテンの式と呼び、1913年にドイツの学術雑誌に発表された<ref><pubmed>21888353</pubmed></ref>。ちなみにM. L. Mentenは当時としては珍しい女性研究者である<ref>''' 鈴木紘一、笠井献一、宗川吉汪 監訳<br>ホートン生化学 第4版<br>''東京化学同人 (東京）'':2008</ref>。ミカエリス定数<math>K_m</math>は基質濃度無限大の時の最大反応速度<span class="texhtml">''V''<sub>max</sub></span>の1/2の速度を与える時の基質濃度に一致する。<span class="texhtml">''K''<sub>''m''</sub></span>はES complexの解離平衡定数<span class="texhtml">''K''<sub>''d''</sub></span>であるから、酵素と基質の親和性の尺度となり、値が小さいほど酵素と基質の親和性が強い。 | この(7)式をミカエリス・メンテンの式と呼び、1913年にドイツの学術雑誌に発表された<ref><pubmed>21888353</pubmed></ref>。ちなみにM. L. Mentenは当時としては珍しい女性研究者である<ref>''' 鈴木紘一、笠井献一、宗川吉汪 監訳<br>ホートン生化学 第4版<br>''東京化学同人 (東京）'':2008</ref>。ミカエリス定数<math>K_m</math>は基質濃度無限大の時の最大反応速度<span class="texhtml">''V''<sub>max</sub></span>の1/2の速度を与える時の基質濃度に一致する。<span class="texhtml">''K''<sub>''m''</sub></span>はES complexの解離平衡定数<span class="texhtml">''K''<sub>''d''</sub></span>であるから、酵素と基質の親和性の尺度となり、値が小さいほど酵素と基質の親和性が強い。 | ||
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== ブリッグス・ホールデンの式 == | == ブリッグス・ホールデンの式 == | ||
しかしながら、上記、Michaelis | しかしながら、上記、Michaelis とMentenの考えではいくつかの仮定を設けており、常にこれらの仮定が成立するとは限らない。そこで1925年に[[wikipedia:George Edward Briggs|G. E. Briggs]]と[[wikipedia:ja:J・B・S・ホールデン|J. B. S. Haldane]]は、ミカエリス・メンテンの式の、より一般化された誘導法を示した<ref><pubmed>16743508</pubmed></ref>。上記(1)の反応スキームにおいて、彼らは酵素反応が直線的に進行する定常状態ではES complexの形成速度と分解速度が釣り合っていて、見かけ上<math>[ES]</math>が一定になると仮定した（定常状態近似）。すなわち、 | ||
<math>\frac{d[ES]}{dt} = 0 = k_1[E][S] - k_2[ES] -k_3[ES]</math> (8) | <math>\frac{d[ES]}{dt} = 0 = k_1[E][S] - k_2[ES] -k_3[ES]</math> (8) | ||
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<math>v = \frac{k_1k_3[E_0][S]}{k_1[S]+(k_2 + k_3)} = \frac{k_3[E_0][S]}{[S]+\frac{k_2 + k_3}{k_1}}</math> (12) | <math>v = \frac{k_1k_3[E_0][S]}{k_1[S]+(k_2 + k_3)} = \frac{k_3[E_0][S]}{[S]+\frac{k_2 + k_3}{k_1}}</math> (12) | ||
ここで <span class="texhtml">(''k''<sub>2</sub> + ''k''<sub>3</sub>) / ''k''<sub>1</sub> = ''K''<sub>''m''</sub></span> | ここで <span class="texhtml">(''k''<sub>2</sub> + ''k''<sub>3</sub>) / ''k''<sub>1</sub> = ''K''<sub>''m''</sub></span>、<span class="texhtml">''k''<sub>3</sub>[''E''<sub>0</sub>] = ''V''<sub>''max''</sub></span>とおくと | ||
<math>v = k_3[ES] = \frac{V_{max}[S]}{K_m +[S]}</math> (13) | <math>v = k_3[ES] = \frac{V_{max}[S]}{K_m +[S]}</math> (13) | ||
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[[Image:Atsuhikoishida fig 1.jpg|thumb|300px|'''図．基質濃度と酵素活性の関係'''（ミカエリス・メンテンプロット、またはS-vプロット）]] | [[Image:Atsuhikoishida fig 1.jpg|thumb|300px|'''図．基質濃度と酵素活性の関係'''（ミカエリス・メンテンプロット、またはS-vプロット）]] | ||
(7)式も(13) | (7)式も(13)式も、酵素反応速度（すなわち酵素活性）と基質濃度の関係を定量的に表した式である。実験的には様々な基質濃度で酵素活性を測定し、横軸に基質濃度、縦軸に酵素活性をとってプロットした場合、図に示すように、数学的には[[wikipedia:ja:直角双曲線|直角双曲線]]の形となる。このようなプロットをミカエリス・メンテンプロット（S-vプロット）と呼ぶ。図から明らかなように、基質濃度が<span class="texhtml">''K''<sub>''m''</sub></span>値（<span class="texhtml">''V''<sub>''max''</sub></span>の1/2の速度を与える時の基質濃度）付近或いはそれ以下の場合には酵素活性は基質濃度に大きく依存し、基質濃度の少しの変化でも酵素活性は大きく影響を受けるが、<span class="texhtml">''K''<sub>''m''</sub></span>値より十分大きい基質濃度の場合、酵素活性は<span class="texhtml">''V''<sub>''max''</sub></span>の値に近づき、濃度が大きくなるにつれて基質濃度依存性が殆どなくなる。従って、一般に酵素活性を測定する場合は、基質初濃度の誤差や、反応の進行に伴う基質濃度減少の影響を避けるため、基質阻害などの問題がない限りは、できるだけ高濃度の基質(<span class="texhtml">''K''<sub>''m''</sub></span>値の5〜10倍、或いはそれ以上)を用いて活性測定を行うことが望ましい。 | ||
== 速度論的パラメータの求め方 == | == 速度論的パラメータの求め方 == | ||
図1のようなミカエリス・メンテンプロットより、上記<span class="texhtml">''K''<sub>''m''</sub></span>や<span class="texhtml">''V''<sub>''max''</sub></span>などの速度論的パラメータを求めることが出来る。以前は(7)式または(13)式の両辺の逆数をとって | |||
<math>\frac{1}{v} = \frac{K_m}{V_{max}}\frac{1}{[S]} + \frac{1}{V_{max}}</math> (14) | <math>\frac{1}{v} = \frac{K_m}{V_{max}}\frac{1}{[S]} + \frac{1}{V_{max}}</math> (14) | ||
とし、1/[S]に対して1/ | とし、1/[S]に対して1/vをプロットして得られる直線プロット（[[ラインウィーバー・バークプロット]]）のｘ切片及びｙ切片より<math>K_m</math>や<math>V_{max}</math>を求める方法がよく行われたが、最近はパソコンの普及により、ミカエリス・メンテンプロットを適当なソフトウェアを用いて双曲線にフィッティングして、直接(7)式または(13)式の各パラメータを求めるdirect fitting法によることが多くなった。 | ||
(7)式または(13)式（ミカエリス・メンテンの式またはブリッグス・ホールデンの式）は多くの酵素にあてはまる便利な式であるが、(1)の反応スキームに従うことを前提にしているので、当然これにあてはまらない場合も存在する。そのような場合に(7)式または(13)式を無理にあてはめて解析することは、誤った結論を導く可能性があるので注意が必要である。そのような場合の扱いに関しては、例えば以下の文献を参照されたい<ref>''' 堀尾武一、山下仁平<br>蛋白質・酵素の基礎実験法<br>''南江堂 (東京）'':1981</ref>。 | |||
== 速度論的パラメータの意味 == | == 速度論的パラメータの意味 == | ||
前にも述べたように、<span class="texhtml">''K''<sub>''m''</sub></span>は<span class="texhtml">''V''<sub>''max''</sub></span>の1/2の速度を与える時の基質濃度として定義され、酵素と基質の親和性の尺度となる。また、<span class="texhtml">''V''<sub>''max''</sub></span>は基質濃度無限大、つまり酵素分子全てが基質で飽和された時の反応速度である。定義により、<span class="texhtml">''V''<sub>''max''</sub> = ''k''<sub>3</sub>[''E''<sub>0</sub>]</span>であるが、この<span class="texhtml">''k''<sub>3</sub></span> | 前にも述べたように、<span class="texhtml">''K''<sub>''m''</sub></span>は<span class="texhtml">''V''<sub>''max''</sub></span>の1/2の速度を与える時の基質濃度として定義され、酵素と基質の親和性の尺度となる。また、<span class="texhtml">''V''<sub>''max''</sub></span>は基質濃度無限大、つまり酵素分子全てが基質で飽和された時の反応速度である。定義により、<span class="texhtml">''V''<sub>''max''</sub> = ''k''<sub>3</sub>[''E''<sub>0</sub>]</span>であるが、この<span class="texhtml">''k''<sub>3</sub></span>を[[触媒定数]]、或いはターンオーバー・ナンバーと呼び、通常<span class="texhtml">''k''<sub>''cat''</sub></span>で表す。すなわち | ||
<math>k_{cat} = \frac{V_{max}}{[E_0]}</math> (15) | <math>k_{cat} = \frac{V_{max}}{[E_0]}</math> (15) | ||