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→変動閾値モデル
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以下、閾値の変動を取り入れたモデルを紹介する。 | 以下、閾値の変動を取り入れたモデルを紹介する。 | ||
まず、スパイクによって閾値が変動すると考えられる。閾値がスパイクによって変動するモデルとして、Multi-timescale Adaptive Threshold (MAT) モデル<ref name=Kobayashi2009><pubmed>19668702</pubmed>C および MATLABコードが著者の[http://www.hk.k.u-tokyo.ac.jp/r-koba/applications/pred_JP.html ホームページ]にある。</ref> | まず、スパイクによって閾値が変動すると考えられる。閾値がスパイクによって変動するモデルとして、Multi-timescale Adaptive Threshold (MAT) モデル<ref name=Kobayashi2009><pubmed>19668702</pubmed>C および MATLABコードが著者の[http://www.hk.k.u-tokyo.ac.jp/r-koba/applications/pred_JP.html ホームページ]にある。</ref>を紹介する。Multi-timescale Adaptive Thresholdモデルの閾値<math>V_{th}(t)</math>は次の式で書ける。 | ||
::<math>V_{th}(t)=\omega+\sum_{j:t_j<t}H(t-t_j)</math> | ::<math>V_{th}(t)=\omega+\sum_{j:t_j<t}H(t-t_j)</math> | ||
::<math>H(t)=\alpha_1+r^{-t/\tau_1}+\alpha_2+r^{-t/\tau_2}</math> | ::<math>H(t)=\alpha_1+r^{-t/\tau_1}+\alpha_2+r^{-t/\tau_2}</math> | ||
ここで<math>t_j</math>は<math>j</math>番目のスパイク時刻であり、（6）式の和は時刻<math>t</math>までに起きたすべてのスパイクについて取る。また、<math>\omega</math>, <math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_2</math>はモデルパラメータ、<math>\tau_1=10\mbox{ }[ms]</math>, <math>\tau_2=200\mbox{ }[ms]</math>は時定数である。Multi-timescale Adaptive Thresholdモデルは、膜電位が閾値に達したら、膜電位をリセットする代わりに閾値を上昇させるという点において積分発火モデルと異なる('''図1''')。このモデルは、わずか3つのパラメータで脳を構成する多様な発火パターンを再現する ('''図2''')。Multi-timescale Adaptive Thresholdモデルは、スパイクに着目した線形化近似を行うことで、Hodgikin-Huxleyモデルから導出することもできる<ref name=Kobayashi2016></ref> [16] | ここで<math>t_j</math>は<math>j</math>番目のスパイク時刻であり、（6）式の和は時刻<math>t</math>までに起きたすべてのスパイクについて取る。また、<math>\omega</math>, <math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_2</math>はモデルパラメータ、<math>\tau_1=10\mbox{ }[ms]</math>, <math>\tau_2=200\mbox{ }[ms]</math>は時定数である。Multi-timescale Adaptive Thresholdモデルは、膜電位が閾値に達したら、膜電位をリセットする代わりに閾値を上昇させるという点において積分発火モデルと異なる('''図1''')。このモデルは、わずか3つのパラメータで脳を構成する多様な発火パターンを再現する ('''図2''')。Multi-timescale Adaptive Thresholdモデルは、スパイクに着目した線形化近似を行うことで、Hodgikin-Huxleyモデルから導出することもできる<ref name=Kobayashi2016></ref> [16]。この解析により、速い時定数<math>\thicksim 10\mbox{ }[ms]</math> は膜時定数、遅い時定数<math>\thicksim 200\mbox{ }[ms]</math>は遅いカリウムイオン電流 (Mタイプ電流K<sup>+</sup>電流やCa<sup>2+</sup>活性化K<sup>+</sup>電流) に対応することが示された<ref name=Kobayashi2016></ref>[16]。また、MAT モデルではカーネル<math>H(t)</math>として2つの指数関数の和を仮定したが、<math>H(t)</math>として指数関数を仮定し、膜電位をリセットするモデルもある<ref name=Liu2001><pubmed>11316338</pubmed></ref><ref name=Jolivet2008><pubmed>18160135</pubmed></ref><ref name=Levakova2019><pubmed>31387478</pubmed></ref> [18,19,20]。 | ||
また、閾値は膜電位<math>V</math>やその微分<math>\tfrac{dv}{dt}</math>によって変動すると考えられる。Azouz とGray は''in vivo''膜電位データを分析し、閾値が膜電位の微分に依存することを示した<ref name=Azouz2000><pubmed>10859358</pubmed></ref>[13]。また、膜電位の微分情報を活用することによって、Hodgikin-Huxleyモデルに対するスパイクの予測精度が向上することが示されている [21]。この結果は、Hodgikin-Huxleyモデルの閾値が膜電位の微分に依存することを示唆している。PlatkiewiczとBretteは、Hodgikin-Huxleyモデルの閾値は近似的に以下の式に従うことを示した<ref name=Platkiewicz2010><pubmed>20628619</pubmed></ref>[15]。 | また、閾値は膜電位<math>V</math>やその微分<math>\tfrac{dv}{dt}</math>によって変動すると考えられる。Azouz とGray は''in vivo''膜電位データを分析し、閾値が膜電位の微分に依存することを示した<ref name=Azouz2000><pubmed>10859358</pubmed></ref>[13]。また、膜電位の微分情報を活用することによって、Hodgikin-Huxleyモデルに対するスパイクの予測精度が向上することが示されている [21]。この結果は、Hodgikin-Huxleyモデルの閾値が膜電位の微分に依存することを示唆している。PlatkiewiczとBretteは、Hodgikin-Huxleyモデルの閾値は近似的に以下の式に従うことを示した<ref name=Platkiewicz2010><pubmed>20628619</pubmed></ref>[15]。 | ||
::<math>V_{th}(t)\thickapprox V_T-k_a\log{h}</math> (8) | |||
<math>h</math>はNaチャネルのゲート変数、<math>k_a</math>, <math>V_T</math>は定数である。式(8)は、実験データやHodgikin-Huxleyモデルで観察された、閾値が膜電位の微分に依存する性質を説明できる。 | |||
スパイクと膜電位のどちらの影響も考慮に入れたモデルもある。山内らは、閾値の膜電位依存性を考慮に入れたMulti-timescale Adaptive Thresholdモデルを提案した<ref name=Yamauchi2011><pubmed>22203798</pubmed></ref>[22]。 | |||
::<math>V_{th}(t)=\omega+\sum_{j:t_j<t}H(t-t_j)+\beta\int\alpha(s)\frac{dV}{dT}(t-s)dS</math> (9) | |||
ここで<math>H(t)</math>は式(7)で定義されるカーネル、<math>\alpha(S)=se^{-s/\tau V}\mbox{ }(\tau_V=5\mbox{ }[ms]</math>)を持つ。このモデルは4つのモデルパラメーター<math>\omega</math>, <math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_2</math>, <math>\beta</math>を持つ。このモデルは、実験データのスパイクを高精度に予測でき、かつ、Izhikevichモデルと同様に多様な神経細胞が持つ、さまざまな発火パターンを再現できる<ref name=Yamauchi2011></ref> [22]。 | |||
( | [[ファイル:Kitano 積分発火モデルFig2.png|サムネイル|450px|'''図2. 積分発火モデルとMulti-timescale Adaptive Thresholdモデルの矩形波電流に対する応答'''<br> | ||
ある矩形波電流に対して、2つの神経細胞モデルが示す発火パターンを示した。<br> | |||
'''A.''' 積分発火モデル: 発火率の異なる神経細胞を再現できる。パラメータは、<math>V_{th}= -50\mbox{ }[mV]</math>(上), <math>V_{th}= -52\mbox{ }[mV]</math>(下)、電流の強さは<math>I_0=0.151\mbox{ }[nA]</math>である。<br> | |||
'''B.''' Multi-timescale Adaptive Thresholdモデル: 神経細胞の多様な発火パターンを再現できる。Chattering 細胞はたくさんスパイクを出した後、2 回ずつスパイクを出している。閾値パラメータは、<math>\omega=24\mbox{ }[mV]</math>, <math>\alpha_1=25\mbox{ }[mV]</math>, <math>\alpha_2=2\mbox{ }[mV]</math> (Regular Spiking), <math>\omega=20\mbox{ }[mV]</math>, <math>\alpha_1=2\mbox{ }[mV]</math>, <math>\alpha_2=3\mbox{ }[mV]</math> (Intrinsic Spiking), <math>\omega=20\mbox{ }[mV]</math>, <math>\alpha_1=10\mbox{ }[mV]</math>, <math>\alpha_2=0.2\mbox{ }[mV]</math> (Fast Spiking), <math>\omega=28\mbox{ }[mV]</math>, <math>\alpha_1=-0.52\mbox{ }[mV]</math>, <math>\alpha_2=0.4\mbox{ }[mV]</math> (Chattering)、電流の強さは<math>I_0=0.6\mbox{ }[nA]</math>である。]] | |||
===Spike Response Model=== | |||
変動電流<math>I(t)</math>が積分発火モデルに注入されている状況を考えよう。ニューロンは時刻<math>0</math>に発火し、その後時刻<math>t</math>まで発火しないとすると、膜電位は | |||
(10) | (10) | ||
とした。式(10) を以下のように拡張したモデルはSpike Response Model (SRM) と呼ばれている<ref name=Gerstner2002>Gerstner, W. & Kistler, W.M. (2002). <br>Spiking neuron models: Single neurons, populations, plasticity., Cambridge: Cambridge University Press. [https://doi.org/10.1017/CBO9780511815706 PDF] </ref> [23] 。 | とした。式(10) を以下のように拡張したモデルはSpike Response Model (SRM) と呼ばれている<ref name=Gerstner2002>Gerstner, W. & Kistler, W.M. (2002). <br>Spiking neuron models: Single neurons, populations, plasticity., Cambridge: Cambridge University Press. [https://doi.org/10.1017/CBO9780511815706 PDF] </ref> [23] 。 | ||
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神経細胞モデル間の比較 | 神経細胞モデル間の比較 | ||
これまで、積分発火モデルとその様々な拡張モデルについて紹介を行った。本節では、4つの神経細胞モデル ( | これまで、積分発火モデルとその様々な拡張モデルについて紹介を行った。本節では、4つの神経細胞モデル (積分発火モデル、Izhikevichモデル、Multi-timescale Adaptive Thresholdモデル、Hodgikin-Huxleyモデル) について比較を行い、モデルの特徴を整理する (表1)。 | ||
まず、モデルの再現性、つまり、数理モデルが実際の神経細胞の発火パターンを再現できるかどうかについて考えよう。モデルの再現性として、A. 似たような挙動を再現できる (定性的再現性)、B. 実験データを正確に予測できる (定量的再現性) の2つがある。積分発火モデルは、単純化されすぎているため、限られたタイプ (Fast Spiking 細胞) | まず、モデルの再現性、つまり、数理モデルが実際の神経細胞の発火パターンを再現できるかどうかについて考えよう。モデルの再現性として、A. 似たような挙動を再現できる (定性的再現性)、B. 実験データを正確に予測できる (定量的再現性) の2つがある。積分発火モデルは、単純化されすぎているため、限られたタイプ (Fast Spiking 細胞) の発火パターンしか再現できない。Izhikevichモデル、Multi-timescale Adaptive Thresholdモデルは、多様な神経細胞のさまざまな発火パターンを定性的に再現できる。Multi-timescale Adaptive Thresholdモデルはスパイク予測の国際コンペで優勝するなど実験データを高精度に予測できる<ref name=Kobayashi2009></ref><ref name=Gerstner2009><pubmed>19833951</pubmed></ref> [17,25] 。Izhikevichモデルは分岐点近傍のモデルであるため、定量的予測には不向きである<ref name=Rossant2011><pubmed>21415925</pubmed></ref> [26]。Hodgikin-Huxleyモデルは、さまざまな発火パターンを定性的に再現できるものの、異なる細胞タイプをシミュレーションするにはイオン電流を調整する必要がある。この調整には専門知識と経験を必要とする。また、個別の実験データにフィットしたり予測したりすることは困難であることが多い。 | ||
次に、これらのモデルを脳のシミュレーション (数値計算) に使うことを考えよう。 | 次に、これらのモデルを脳のシミュレーション (数値計算) に使うことを考えよう。 | ||
大規模な神経回路をシミュレーションするためには、高速かつ正確に数値計算できることが望ましい。積分発火モデルとMulti-timescale Adaptive Thresholdモデルは、膜電位と閾値を解析的に計算できるため<ref name=Yamauchi2011><pubmed>22203798</pubmed></ref>[22]、刻み幅や数値誤差の問題に悩むことなくシミュレーションを実行できる。Izhikevich モデルは Hodgikin-Huxleyモデルに比べると非線形性が弱いので高速に計算できるが、膜電位を解析的に計算できないため、刻み幅や数値誤差に注意をしつつシミュレーションを行う必要がある。 | |||
また、神経回路の理論的解析を行うためにはモデルがシンプルなことが望ましい。そのため、理論研究では積分発火モデルが使われることが多い。Multi-timescale Adaptive Thresholdモデルの閾値変動は複雑であるものの、方程式自体は線形なのでそれほど困難ではないと予想される。IzhikevichモデルとHodgikin-Huxleyモデルは非線形微分方程式であるため、解析は困難である。 | |||
最後に、モデルパラメータの解釈性について考えよう。Hodgikin- | 最後に、モデルパラメータの解釈性について考えよう。Hodgikin-Huxleyモデルは、全てのパラメータがイオンチャネルと対応しているため、パラメータの解釈を行うことが容易である。その一方、積分発火モデルやIzhikevichモデルは単純化されすぎているため、パラメータの生理学的意味を解釈することはできない。このため、積分発火モデルやその拡張モデルは現象論的モデルと呼ばれることもある。Multi-timescale Adaptive Thresholdモデルのパラメータは、複数のイオン電流の効果が合わさったものに対応している。このため、パラメータから遅いカリウム電流の有無などを解釈できるものの、イオン電流の詳細については解釈できない。 | ||
表1: 神経細胞モデルの比較。 4つの神経細胞モデル、積分発火モデル (LIF)、Izhikevichモデル (Izhikevich), | 表1: 神経細胞モデルの比較。 4つの神経細胞モデル、積分発火モデル (LIF)、Izhikevichモデル (Izhikevich), Multi-timescale Adaptive Thresholdモデル (MAT), Hodgikin-Huxleyモデルを比較した。 | ||
○：適したモデルである、△：最適なモデルとは言えない、✖️：目的に合わない。 | ○：適したモデルである、△：最適なモデルとは言えない、✖️：目的に合わない。 | ||