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相互相関関数の定義は学問分野、研究者によって異なる。ここでは神経科学の分野でしばしば用いられる定義について述べる。 | 相互相関関数の定義は学問分野、研究者によって異なる。ここでは神経科学の分野でしばしば用いられる定義について述べる。 | ||
[[Image:CCG_Fig1.png|thumb|400px|'''図１ 相互相関関数の例'''<br> | [[Image:CCG_Fig1.png|thumb|400px|'''図１ 相互相関関数の例'''<br>二つの仮想的な細胞のスパイク活動から計算した相互相関関数。平均10ヘルツで活動電位を発射する二つの細胞から5分間にわたり同時に活動を計測する実験をシミュレートし、相互相関関数を求めた。あるビンにおいて細胞が発火している状態を <math>X(t) = 1</math> で、発火していない状態を <math>X(t) = 0</math> で表し、計算を行った。'''A、'''二つの細胞が同期して活動する傾向がある場合、相互相関関数は時間差0にピークを持つ。'''B、'''２つの細胞の活動の間に何の関係性もない場合、相互相関関数は平坦となる]] | ||
ある二つの神経細胞の活動（例えば活動電位の発生タイミング）を同時に計測したとする。計測期間を <math> T </math> 個のビンに区切り、 <math>t</math> 番目のビンにおけるある細胞の活動を <math>X(t)</math> で、もう一つの細胞の活動を <math>Y(t)</math> で表す。このとき <math>X(t)</math> と <math>Y(t)</math> の相互相関関数（相互相関ヒストグラム） <math>C_{XY}(\tau)</math> は、次のように定義される。 | ある二つの神経細胞の活動（例えば活動電位の発生タイミング）を同時に計測したとする。計測期間を <math> T </math> 個のビンに区切り、 <math>t</math> 番目のビンにおけるある細胞の活動を <math>X(t)</math> で、もう一つの細胞の活動を <math>Y(t)</math> で表す。このとき <math>X(t)</math> と <math>Y(t)</math> の相互相関関数（相互相関ヒストグラム） <math>C_{XY}(\tau)</math> は、次のように定義される。 | ||
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ここで <math>\tau</math> は <math> X </math> と <math> Y </math> の間の時間差（time-lag）を表す。相互相関関数は、細胞 <math> X </math> の活動と細胞 <math> Y </math> の活動との関係性を反映する（図１）。 | ここで <math>\tau</math> は <math> X </math> と <math> Y </math> の間の時間差（time-lag）を表す。相互相関関数は、細胞 <math> X </math> の活動と細胞 <math> Y </math> の活動との関係性を反映する（図１）。 | ||
[[Image:CCG_Fig2.png|thumb|350px|'''図２ 相互共分散関数の例'''<br> | [[Image:CCG_Fig2.png|thumb|350px|'''図２ 相互共分散関数の例'''<br>二つの仮想的な細胞のスパイク活動から計算した相互共分散関数（青線）。相互相関関数（黒線）には、細胞活動間の共分散（相関）に由来する成分と、平均発火率の変化に由来する成分が含まれる。細胞活動が独立である場合に期待される相互相関関数（赤線）を差し引くことで、共分散に由来する成分を抽出することができる。この例では、二つの細胞の活動の間に正の相関がある。]] | ||
神経活動はしばしば確率過程としてモデル化される。この場合、相互相関関数の値は複数の統計量（細胞活動の平均や共分散）を反映する。例えば、二つの細胞の活動が独立、つまり共分散が0であっても、両細胞の活動の平均が時間的に同じように変化すると、相互相関関数は時間差0で最大となる場合がある。実験データから計算した相互相関関数と、二つの細胞の活動が独立である場合に期待される相互相関関数（帰無仮説）の差を取ることで、二つの細胞の活動が独立かどうかを統計的に検討することができる<ref name=perkel><pubmed> 4292792 </pubmed></ref>。この差は相互共分散関数 <math>Cov_{XY}(\tau)</math> と呼ばれる。 | 神経活動はしばしば確率過程としてモデル化される。この場合、相互相関関数の値は複数の統計量（細胞活動の平均や共分散）を反映する。例えば、二つの細胞の活動が独立、つまり共分散が0であっても、両細胞の活動の平均が時間的に同じように変化すると、相互相関関数は時間差0で最大となる場合がある。実験データから計算した相互相関関数と、二つの細胞の活動が独立である場合に期待される相互相関関数（帰無仮説）の差を取ることで、二つの細胞の活動が独立かどうかを統計的に検討することができる<ref name=perkel><pubmed> 4292792 </pubmed></ref>。この差は相互共分散関数 <math>Cov_{XY}(\tau)</math> と呼ばれる。 | ||